1、,第五章 概率统计初步,2,第一节 事件与概率,一、随机试验与事件,人们在生产实践和科学实验中，发现对自然界和社会上所观察到的现象大体分为两类：,一类是事前可以预料的，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称之为必然现象或决定性的现象；,另一类是事前不可预料的，即在相同条件下重复进行观察或试,3,验时，有时出现有时不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。,随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。,概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始探索和研究。,4
2、,对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E表示。,例如：,上面这些例子，尽管内容各异，但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。,5,一、随机试验：,如果试验可以在相同条件下重复进行；试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。,在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现。这就是,随机事件。,在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。,6,.e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 。,二 、样本空间,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或. 全体样本点的集合称为样本空
3、间。样本空间用表示。,样本点e,7,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,8,一般用字母A，B，C等表示。,事件分为基本事件和复合事件。,例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。Ai =掷出i点 i=1,2,3,4,5,6，它们都是基本事件。,复合事件：两个或一些基本事件并在一起，,就构成一个复合事件。,9,例如 ，B=掷出奇数点,就是复合事件。,两个特殊的事件：,必然事件就是在试验中必定发生的事件，用表示;,
4、例如， “掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件。,不可能事件就是在一次试验中不可能发生的事件，常用表示 。,10,三 、事件的关系与运算,为了研究事件的需要，下面介绍事件间 的几种主要关系以及事件的运算。,1、若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A为事件B的子事件。,11,为了方便起见，规定对任一事件 ，,记为：,2、 若事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和事件，,记为：,12,3、事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的交事件，,记为：,13,5、事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互不相容事件。,4、事件A发生而事件B不发
5、生，这事件称为事件A与事件B的差事件。,记为：,14,6、设事件A，令事件 ，,则称事件B为事件A的对立事件。,记为：,15,例1 设A，B，C是三个事件，则,1 、“A发生而B，C都不发生”可表示为：,2、 “A与B发生而C不发生”可表示为：,AB-C 或AB 或AB-ABC。,16,（1）只有第一枪击中；,（2）至少有一枪击中；,（4）三枪都未击中；,（3）至少有两枪击中；,解,17,（4）三枪都未击中可表示为：,（3）至少有两枪击中可表示为：,18,三 概率与频率,对于事件发生的可能性的大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重
6、复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。,19,1、频率的定义,在一般情况下，是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小呢 ？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。,设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值 为这n次试验中事件A发生的频率，即,20,频率的性质：,21,试验者 抛掷次数 出现正面的次数 频率 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005,例,22,2、概率的定义,设E 是随机试验， 是它的样本空间，对,公理3 若事件A1, A2 ,两
7、两互不相容，则有,23,若 是有限个两两不相容的事件，则,加法定理,24,次实验中发生的可能性是一样的.,四 、古典概型,古典概率是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:,（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为,样本空间为,25,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法。,26,例1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？,解 设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义，,所求概率为 P(A)= =0.9,排
8、列组合是计算古典概率的重要工具 。,27,例2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？,解 用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：10099种，而第一次抽正品的方法有95种，第二次取次品的方法有5种，则A中包含的抽取方法,28,共955种，所求概率为：,29,五 几何概率,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法几
9、何方法。,几何方法的要点是：,30,（1）设样本空间 是平面上某个区域，它的面积记为 ;,（2）向区域 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。,（3）设事件A是 的某个区域，它的面积为SA,则向区域 上随机投掷一点，该点落在A内的概率为：,31,32,在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？,解,以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能
10、,例3 甲、乙两个相约在0到T这段时间内,33,到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是：,则所求的概率为：,34,广义加法法则,设、B是事件，则,35,36,六 条件概率 全概率公式,（1）、条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。,37,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到：,38,例6 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.
11、4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上”。,则,由已知,从而所求的概率为,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)。,（2）乘法法则,40,例7 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。,解：设 表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则,41,3、 事件的相互独立性,设事件A和事件B是两个事件，如果,称A与B是相互独立的。,事件A与B是相互独立的充要条件是 P（A B）P（A）P（B）。,定理,42,43,因为P(B)=
12、 P(B|A)，所以事件A和是事件B相互独立。,44,45,46,47,4、完备事件组,5、全概率公式,48,49,(2) 第二个同学抽时有9张签,如果A发生，那么，这9张签中没有一张可以得到电影票，如果A不发生，那么，这9张签中没有一张可以得到电影票，根据全概率公式,50,例12 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，
13、,51,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：,则由已知，,52,53,第二节 随机变量,54,例1 投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结果：,我们引入一个变量如下：, 出现正面, 出现反面,这个变量可以看作是定义在样本空间,55,上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不同而随机地取值1或0。,例2 掷一枚骰子面上出现的点数。,这个试验结果本身就是一个数.（与数值有关）,我们引入一个变量,56,定义 设随机试验为 ,其样本空间为,如果对于每个 ，都有一个实数,和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数 ，称 为随机变量。,57,而表示随机变量所取的
14、值时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示,随机变量（X）是基本事件的函数.,随机变量,58,随机变量的分类,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.,59,一、离散型随机变量,如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。,对于离散型随机变量，我们要搞清楚它的统计规律，只需要知道它取每一个可能值的概率。,60,定义 设X是一个离散型随机变量，它可能取值为 并且取各个值的对应概率为 即,则称上式为离散型随机变量X
15、的概率分布，又称分布密度或分布列。,反过来，假如有一列数 满足,61,分布列也可以通过列表表示：,且,则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布列。,其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。,62,例1 如右图所示,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量。求X的分布。,解：X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为,其分布列为,63,例2 随机变量X只取两个值 和 ，并且已知,称这种只取两个值的分布为两点分布。,特别：若,则称这种分布为(0-1)分布。其分布列为：,64,为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进了
16、分布函数的概念.,二、随机变量的分布函数,定义：设 是一个随机变量，对任意的实数 ，随机变量 取值落入区间 内的概率为,称 为随机变量 的分布函数.,65,因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.,显然，对任意,66,解 由定义,当 时,当 时，,例3,求 。,当 时，,67,故,下面我们从图形上来看一看。,注意右连续,不难看出， 的图形是阶梯状的图形，,在 处有跳跃，其跃度分别等于,68,69,四、连续型随机变量,则称 为连续型随机变量， 为 的概率密度函数，简称概率密度。,由定义可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，是密度函数的可变上限的定积分.,定义
17、设 是随机变量 的分布函数，如果存在一非负函数 ，使对任意实数 有,70,由上式可得，在 的连续点，,概率密度函数的性质：,这两条性质是判定一个函数 是否为某连续型随机变量的概率密度函数的充要条件。,利用以上关系可以推得，随机变量 落入某有限区间 内的概率为,71,它是以 为底，以曲线 为顶的曲边梯形的面积。,72,1、均匀分布,设随机变量X具有概率密度为,称随机变量X在区间a,b上服从均匀分布。,73,2、正态分布,设随机变量X具有概率密度为,称随机变量X服从参数为，的正态分布 。,其中，是常数，且0，,74,对应的分布函数为,75,76,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函
18、数和分布函数常用 和 表示：,77,78,例1 设 ，计算：,解,79,80,例2 设 ，计算：,解,81,82,第三节 数学期望与方差,83,一、离散型随机变量的数学期望,假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，二人命中靶子的情况分别为：（单位：环）,现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？,84,很显然，通过某一枪的命中情况比较二人命中率是不合适的，比较容易理解的是通过二人各自命中环数的平均值来比较。,对于甲选手，命中环数的平均值为,对于乙选手，命中环数的平均值为,85,从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。,如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较两随机变
19、量平均值的大小。,86,例1 设某离散型随机变量 X 的分布列为,如果对随机变量连续进行 N 次取值，问这 N,个值的平均值应是多少？（假设 N 相当大）,由于 X 是随机取值的，N 个值分别是多少无法确定，但由分布列的定义，从理,解,87,论上讲 N 次取之中有 次取到1， 次取到2， 次取到3，从而所求平均值应为：,可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。,88,定义 设离散型随机变量 X 的分布列为,如果级数 绝对收敛，即 收敛，则和 为随机变量 X 的数学期望或均值，记为 ，即,89,由数学期望定义,解,例2 对服从（01）分布的随机变量 X ，其分布列为：,求 X 的数学
20、期望。,90,为 ，如果积分 绝对收敛，即 收敛，则称积分 的值为连续型随机变量 X 的数学期望或均值，记为 。即,二、 连续型随机变量的数学期望,定义 设X 为连续型随机变量，概率密度,91,例3 设 X 服从 区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。,已知 X 的概率密度为,从而,正好是区间 的中点。,解,92,三、方差,定义 对随机变量 X ，如果数学期望 存在，且 的数学期望也存在 ，则称 的值为随机变量X 的方差，记为,计算公式,93,例4 对服从（01）分布的随机变量 X ，分布列为,求 X 的方差。,已知 而且,则 X 的方差为,解,94,例5 对服从a，b区间上均匀分布的随机变量X ，计算,已知 ，且,解,从而,95,96,第四节 统计初步和数据整理,97,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在一般统计所进行的数据整理的基础上，用概率论的方法科学地加工、提炼、并做出判断的一门数学学科。其主要思想方法是用局部推断整体。数理统计的内容非常丰富，我们仅介绍其基本思想和部分内容。,98,99,100,101,102,
