1、现代控制理论Modern Control Theory第3章：线性控制系统的能控性和能观性第3 章：知识 点3.1 能控性的定义与基本判别方法3.2 线性定常系统的能控性矩阵判 别方法3.3 线性定常系统的能观性与判别 方法3.4 能控性与能观性的对偶关系3.5 能控标准型与能观标准型3.6 线性系统的结构分解3.7 传递函数矩阵的实现问题 线性连续定常系统的能控性定义如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf 内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态 完全能控的或简称系统是能
2、控的。线性连续时变系统的能控性定义其能控性的定义与定常系统的定义相同，但是A(t)和B(t)是时变矩阵而非常系数矩阵，因此其状态矢量x(t)的转移与初始时刻的选取有关。在时变系统能控性定义中，应强调在t0时刻系统是能控的。x Ax Bu=+x A x B u=+tt()()3.1 能控性的定义与基本判别方法这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：离散时间系统其中u(t)是标量控制作用，它在(k,k+1)区间内是一个常值，其能控性定义为：若存在控制作用序列u(k),u(k+1),u(l-1)能将第k 步的某个状态x(k)在第l 步上到达零状态，即x(l)=0，其中l 是大于k 的有限数，那么就称
3、此状态是能控的。若系统在第k 步上的所有状态x(k)都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。x Gx Hu+=+k k k(1)()()3.1 能控性的定义与基本判别方法 具有约旦标准型系统的能控性判 别1)单输入系统。具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是 先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据控制输入矩阵阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。或 x Bu x=+x x Bu J=+3.1 能控性的定义与基本判别方法=n00321J=+nmmm010010010
4、100100001111Bbbbn=21为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(i)系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：从微分方程中可知，状态x2可以受控制量u的控制但状态x1与u无关，即不受u控制。因而只有一个特殊状态 是能控状态，因而为不能控系统。x x x=+=bu y c c0,0022121)(=+=x x b uxx2 2 2 21 1 1+1x11c 2x+2y2b)t(u2c 3.1 能控性的定义与基本判别方法(ii)系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：虽然上式微分方程中，状态x1与u 无直接关系，但它与x2是有联系的，而x2是受控于u的，所
5、以上述系统是状态完全能控的。x x x=+=bu y c c0,0012121)(+=+=xx x b uxx222 2 21 1 11x+11c+2c2x+1y2b)t(u 3.1 能控性的定义与基本判别方法(iii)系统矩阵A 为约旦型，但控制矩阵第二行的元素为0，其微分方程组为：上式微分方程的第二式中只有x2本身，它不受u 的控制，而为不可控系统。从下图也可以看出，存在一个与u无关的孤立部分。x x x=+=u y c cb0 0,11121 1)(=+xxx x b u x1 2 121 2212c+)t(u1x+11c+1b2x+1y 3.1 能控性的定义与基本判别方法2x通过以上分
6、析可以总结出以下几个结论：系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A 和控制矩阵b。也即系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。在A为对角线型矩阵的情况下，如果b 的元素有为0的，则与之相对的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；在A 为约旦标准矩阵的情况下，前一个状态总是受到下一个状态的控制，因此仅当b中相应于约旦块的最后一行元素为零时，系统才会成为不可控系统。不能控状态，在结构图中表现为存在于u(t)无关的孤立方块，它对应的是一个一阶齐次微分方程的模拟结构图，其为自由解为不能控的状态。3.1 能控性的定义与基本判别方法2)具有一般系统矩阵的多输入系统，系统状态方程为：x=Ax+Bu令x=Tz，可将上式变换为约旦标准型：z=x+T Bu 1或（有重根时）z=Jx+T Bu1可以证明，由于系统的线性变换不改变系统特征值，因此线性变换不改变原系统的能控性。据此可得一般系统的能控性判据如下：若系统矩阵A 的特征根互异，则系统能控的充分必要条件是控制矩阵T-1B 的各行元素没有全为0的。若系统矩阵A 的特征根有相同，能控的充分必要条件是：1)在T-1B 中相应于相同特征根的部分，它与每个约旦块最后一行的元素没有全为0的；2)T-1B 中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。3.1 能控性的定义与基本判别方法
