1、第12章 无穷级数 高等数学 12.2.3任意项级数审敛法 一、交错级数及其审敛法 定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnu u=1 11)1()1(或)0(nu 其中莱布尼兹定理 若交错级数 满足()111nnnu=()1(1)1,2,3;(2)l,0 im nn nnuu n u+=则级数收敛，且其和，其余项 的绝对值 1su nr1 nnru+证 1u.lim1 2u s snn=ns2,数列 是单调增加的ns2,数列 是有界的1nnuu+()()()2 12 34 2 12n nns uu uu u u=+()()n nn ns u uu u u u2 1 23 2 22
2、1 2=又)(lim lim1 2 2 1 2+=n nnnnu s s,s=.,1u s s 且 级数收敛于和满足收敛的两个条件,.1+n nu r定理证毕.()n nnu r u12+=+余项12nn nr uu+=+再分析前 项的和 的极限也是 21 n+21 ns+s21lim 0 nnu+=事实上 例1 证明交错级数 11(1)nnn=是收敛的.111),(1,2,)1nnn=+12)lim lim 0;nnnun=证 且满足 1nun=满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛.例2 验证级数()()1110nsnsn+=是收敛的.12)lim lim 0(0)nsnnusn=111),(1
3、,2,)(1)ssnnn=+满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛.证 由于，且 1nsun=二、绝对收敛与条件收敛 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定义 若=1 nnu 收敛,则称=1 nnu 为 绝对收敛;若=1 nnu 发散,而=1 nnu 收敛,则称=1 nnu 为 条件收敛.定理 若=1 nnu 收敛,则=1 nnu 收敛.证,0 nv 显然,n nu v 且,1收敛=nnv 定理的作用：任意项级数 正项级数()n nnv uu n 令1(1,2,)2=+=1 nnu 收敛.()112 又n nnnnu vu=例3 判别级数 12 100(1)31nnnnn=+的敛散性.解
4、2 100(1)31nnnnun+=+由于 limnnnu故原级数绝对收敛，2 100 2lim 131 3nnn+=+从而也是收敛.例4 判别级数(1)10021(1)2nnnnn=的敛散性.解(1)1002(1)2nnnnnu=1limnnnuu+112=故原级数绝对收敛.由 1001100(1)2lim2nnnnn+=10011lim 12nn=+例5 判别级数 11(1)nnnn=的敛散性.解 1(1)nnnun=limnnu故原级数发散.从而得知通项 nu 当 n 时并不趋于零.由于 1lim 1nnn=例6 判别级数 2111(1)12nnnnn=+的收敛性.解 21112nnnun=+有 1112nnnun=+2111(1)12nnnnn=+发散.而 11,2e 由()1,2en 可知 因此,n nu 不趋于零，谢谢，再见！
