1、一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解二解题策略类型一 结合基本不等式求解问题【例 1】在 中,若 = ,则角 的最大值为ABC2ab2cCA. B. C. D. 643【答案】C【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出 cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出 cosC 的最小值，根据 C 为三角形的内角，求出 C 的最大值【举一反三】1、 【2018 天津市耀华中学模拟】在 中，如果边 ， ， 满足 ，则 （ ）ABabc12ab
2、cAA. 一定是锐角 B. 一定是钝 角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能【答案】A【解析】已知不等式两边平方得 ，利用余弦定理2214abc222 362188bcbcbca cosA，为三角形的内角， ，即 一定是锐角06A 故选 A2、 【2018 江西省赣州市上高二中模拟】在 中，内角 所对边分别为 ，若ABCBC、 、 abc、 、，且 ，则 的最小值为_sintaCbB3sin2cAab【答案】43、 【2018 河南省漯河市高级中学模拟】在 中，内角 的对边分别为 ，已知ABC, ,abc， ，则 的取值范围是_21sinsin4BC2bca【答案】 ,【解析】 ，21c
3、os1sinsinsin24BCB得 ， ， ，co4iC1cos2ABC则 ，得 ，2222 1sbcabaAc24bcba解得 ，又 ，3a的范围是 。,2类型二 利用消元法求解问题【例 2】 【2018 重庆市第一中学模拟】在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若ABCBCabc， ，则 的取值范围是_cosaBbC3ac【答案】 3,【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围【举一反三】1、在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则ABCBCabc224abc4ab的最小值是_2sinta【答案】 4【解析】 ， ，, 22abc4ab2
4、242cosabcC, 0,C3,sinicos24BAA, 22221tansitancos3cosABAA当且仅当 时成立.22si 4tantancos23C221cosA2、 【2018 浙江省镇海中学模拟】圆 上任意一点 ，过点 作两直线分别交圆于 ， 两点，且21xyPAB，则 的取值范围为_60APB2APB【答案】 3,【解析】在 中，由正弦定理得： ,设2PABrsinsi0,12PBA，又 ，所以 ，60APB120120PAB.2,sinsi.2224i103343242sin6i sinsicosinco. .70, ,364i,6答案为： .,3. 【2018 江苏省
5、丹阳高级中学模拟】在锐角三角形 ABC 中， 的最小值为9tantantaABCA_【答案】252919949tantanta 11mnnABCAmn mn4 4141m（ ），当且仅当 ，即 时取等号. 9323+25n91mn15n类型三 与三角形的周长有关的最值问题【例 3】 【河南省豫南豫北 2018 届高三第二次联考】已知锐角 ABC的内角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，其外接圆半径为 23,b，则 ABC的周长的取值范围是_【答案】 ,6【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思
6、路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.【举一反三】1、 【2018 四川省宜宾市模拟】在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且ABCabcABC， ， 那么 周长的最大值是cos2320BA3bA. B. C. D. 4【答案】C2、 【2018 广西联考】在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 ， ABCBCabc1b，则当角 取得最大值时，三角形的周长为（ ）cos0bA. B. C. 3 D. 322【答案】A【解析】在ABC 中，由正弦定理得： sinicos0BCAs02bcA 为钝角 ，0co
7、sAC由 ，2sinincosi可得 ，3tata ， tanB= = = = ，1tnAC213tn13tanCt23当且仅当 tanC= 时取等号B 取得最大值 时，rct 2163cbCBA， a=2 = a+b+c=2+ 故答案为：2+ os 3类型四 与三角形面积有关的最值问题【例 4】 【2018 湖北省襄阳市四校联考】在 中， 分别为内角 的对边，若ABC,abc,ABC，且 ，则 的面积的最大值为_1sincosin2bCAC2aABC【答案】 【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本
8、题中 要在 的基础上在利用正弦定理得到1cos12inbAB。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。sincoA【举一反三】1、 【2018 山东省德州市模拟】在 中， 分别为内角 的对边， ABC,abc,ABC，则 面积的最大值为_4,2coss1aba【答案】 32、 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，且 ，则ABCBCabccosinabCB2b面积的最大值是_【答案】 1【解析】根据 由正弦定理可得， cosinab，可得 ， 中，sini,sincosinABCBCBCtan1,45BABC根据余弦定理 ，可得 ，化
9、简可得2,45,b22ba2cosa， ， ，由此可得acc242ac，当且仅当 时等号成立， 面积42a ABC，综上所述，当且仅当 时， 面积 最大值为1sin4212SacBcacS，故答案为 .21213、如图半圆 的半径为 1， 为直径 延长线上一点，且 ， 为半圆上任意一点，以 为一边OPMN2OPRPR作等边三角形 ，则四边形 面积最大值为_.QRR【答案】 5324类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例 5】在 中，角 的对边分别为 ， ，若符合条件的三角形有ABC, ,abc2,sin6iACBb两解，则 的取值范围是_b【答案】 3,6【解析】 因为 ，所以 ，2,ABC3B又 ，则 ，则 ，sinibab6由 ，所以 .aB3【指点迷 津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于 基础题，解答中熟记三角形的正弦 定理的边角互化和合理应用
