1、形如求 等的问题称为“双重最值问题” 按其变元的个数可分为一12maxin,nfxf元双重最值问题和多元双重最值问题在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题一个结论：设 ， ， ， ， 为正常数，则0ypq（1） ；11inax,ypq（2） 1mi,pqxy证明：设 ，则 ， ， ，1a,ttxty1xtyt所以 ，1 1pqtxytpqt当且仅当 时取等，即 1 1minax,qypq【题 型综述】一、一元双重最值问题1分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可例 1：若 ，求 的最大值RxFmin21,6xx解：由 ，由 ，由 ，故可得225163xx，对
2、每一段求值域可知当 时， 取得最大值 1F26x xF42数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值例 2：（2007 年浙江数学竞赛）设 ，求 2min4,153fxxmaxf解：分别画出 ， ， 的图象，24yx21y53yx得到 的图象如粗体部分所示f联立 ， 解得 ，yx2y,2A联立 ， 解得 ，2153x1故由图可知当 时， 的最大值为 xf二、多元一次函数的双重最值问题1利用不等式的性质例 3：设 （ ， ， ， ， ） ， ， ，求0ix123451ix12345max,xx的最小值解：由 ，12345x12345413xxx当 ， ， 时，
3、取得最小值 4031232利用绝对值不等式例 4：求函数 在区间 上的最大值 的最小值2fxa,a解：注意 到 ，且 ，1f011ff a所以 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 2a1a2a23利用均值不等式例 5：（2002 年北京高中数学竞赛）若 ， ，求 0b21minx,ab解： 设 ，则 ， ， ，21max,tb1tatb2ta所以 ，232 32t tb当且仅当 ， 有最小值 ，即 31at3 231minax,b4利用柯西不等式例 6：若 ， ， 且 ，求 b0c3abc22ia,33cbcab 解：设 ，222max,ctc则 ， ， ，由柯西不等式得23tb23bta23
4、tcb，2222 33 6626aca ct tc当且仅当 取等，即 3b22 3minx,3bacacb 5分类讨论例 7：若 ， ，求 的值a014ia,b解：设 ，则 ， ， ，14mx,tbttab当 时， ， ，当且仅当 时取等；a5taa25t5ab当 时， ， ，当且仅当 时取等b14bb综上， ，当且仅当 时取等，即 5t514minax,5b6待定系数法例 8：若 ， ，求 的值a0b14minax,b解：设 ，则 ， ， ，且 ，14max,tbtatbtatb14tab442tt，当且仅 当 且 时取等，24tabtab即 ， 时， ，即 5ab25tt14minx,5a
5、7构造函数例 9：设 ， ， ， （ ） ，求 Rc32fxabxcinmxf解：注意到 为 次函数且 ，联想到三倍角公式 ，fx31,3cos4cos因此先 构造特殊函数 ， ，若设 ， ，34fx,x,则 ，从而 ，314coscosfx1ma4f当且仅当 ， ， ， ，即 或 时取等，故猜测 0231x21minax4f设 ，注意到 （可用待定系数法求得） ，maxtf312fff故 ，13612122tfffffff 即 ，考虑到 ， 时， ，故 4t34fx,x4tminax4f8利用韦达定理例 10：若 ， ， 且 ， ，求 ab0c12abc5abci,bc解：注意到 ， ， 的
6、对称性，故可设 ，又 ， ，x,12bca4512a所以方程 有两个不大于 的实根，故21450xxa，当 ， 时， 012fa6ab2cminx,5bc9数形结合例 1 1：（2014 浙江竞赛）若 ， 且 ，求 0aRb2maxin4,532axbab解：我们在同一坐标系中画出 ， ， 的图象，124fx22fxab35fx则由图可知当且仅当 过 ， 时，2f,A,才有 ，maxin4,53axb所以 b【同步训练】1、 （2013 浙江预赛）设 ， ，求 a0b21minax,b【详细解析】2、 （2006 浙江预赛）若 ， ， ，求 ab0c23231maxin,abc【详细解析】设
7、，则 ， ， ，23231min,t cabta2tb3tc， ， ，故 ，ttt23ct当且仅当 时， ，即 23abc23231maxin,abc3、 （2003 北京竞赛）若 ， ，求 的值x0y1maxin,yx【详细解析】4、 （2015 浙江高考）设 ， 在 上的最大值为 ，2fxabfx1,ab求证：当 时， 2a,b【详细解析】，2,11124bfababa所以 2a5、设 ，若对任意的 ，存在 使得43fxx0,40,x，求 的最大值0t【详细解析】由题意 即为 的最大值minaxft，2 21112f xaxa等号当且仅当 或 时成立，又 ，所以 ， 的最大值为 0xmin
8、t16、若 ， ， ，求 的值abcminax,bc【详细解析】设 ，则 ， ， ，1ax,tcb1tactbcat，42 42tbtcc当且仅当 时取等，即 时， 1a1abc1minax,2abc7、若 ， ，求 a0b21minax,b【详细解析】设 ，则 ， ，21ax,tbta22212abttb即 ，当且仅当 时取等，即 t22minx,ab8、若 ，求 0xy5minax,y【详细解析】9、若 ， ， ，求 xy0z2231minax,yzxy【详细解析】设 ，则有2231a,txyzxy，2262323 1448211txytzxyztxyztttxy当且仅当 且 ， ，即 ，
9、 时， 取得最小值 z2xy42xyzt210、设 ， ，求 的值aRbmina1,bab【详细解析】设 ，则 ， ， ，max12,2tbab12tab12tabt设 ，yzxyxyzxyz令 且 ，0x0:4xy则 ，6124212428tabbab故 ，当且仅当 ，即 ， 时取等431a311、设 （ ） ，求 2fxc0xminxf【详细解析】12、设 ，求 的最小值222 2max4,31,3tyxyxt【详细解析】 222 24xyxyxy2233463229344344xy 令 ， ，222 23137xyyxx所以 ， ， ，此时 ，34732474293314222 2713txyxyxy，当且仅当 ， 时， 2233144773ymin127t13、设 （ ） ，求 cosinfxxab302xinaxf【详细解析】当且仅当 ，即 时取等，即 5988fff0abminax2f14、设 ，求 的最小值max1,42,3tpqpqt【详细解析】15、若实数 ， ， 满足 ， ，求 abc0abc1aminax,bc【详细解析】注意到 ， ， 的对称 性，不妨设 ，由 ， 可知b1c方程 有两个不大于 的根，从而 ，210xcc23404c当且仅当 时取等，故 342ab3minax,b
