1、，（） ：数学物理学报 ：关于整函数零点和周期性的研究摘要： 该文证明如果 是超越整函数， 且满足对某个正整数 使得 （） 是周期函数， 那么 也是周期函数 这一结果与最近 提出的一个猜想有密切联系？关键词： 整函数； 零点； 周期性（） 主埋分类： 中围分类号， 文献标识码： 文章编号： （） 引言本文主要研究了 近期提出的一个问题猜想 如果 是超越整函数， 且满足对某个正整数 使得 （）是周期函数， 那么 也是周期函数这类问题可以追溯到上世纪 年代， 和 ， 其中 证明了如果 是任意一个非常值整函数， 是次数大于 的任意多项式， 则 （） 不是周期函数 随后， 和 进一步证明了如果 是超越
2、的， 那么 （） 模任意多项式后不是周期函数 三年后，如【仑证了当级小于 的任意超越整函数替代 时，取邮取取鉀和 的结果仍是成立的 另外， 在一类增长性条件下， 和 把 和 的结果推广到形式为叫（）内的整函数上这里当 时， 我们证实了猜想 事实上， 本文得到了如下更一般性的结果？定理 如果 是超越整函数，且满足对某个正整数 使得 （ ）是周期函数， 那么 也是周期函数在文献 中， 作者定义了复数序列 ？是周期为 （） 的周期点集当且仅当序列 重新排列后与 致， 并且证明了如果 是整函数， 且满足 （， ） ；收稿日期： ； 修订日期： 士 ：； 基金项目： 国家自然科学基金（，） 和教育部长江
3、学者和创新团队发展计划项目 （）（ ，）（） 通讯作者数 学 物 理学报 这里（， ） （） ， 那么存在一个常数 和一个周期为 的周期整函数 使得 具有以下形式 （ ） （ ）当且仅当 ， 广 的零点集合心，今是周期同为 的周期点集 同时可参见文献 间 ， 其中作者得到了由 代替 的更一般的结果本文， 我们参照文献 和 中的方法， 得到了有限级整函数与零点相关的周期性结论定理 令 ， ：，为正整数， 设 为有限级超越整函数， 且满足 （）是周期为 （一） 的周期函数 如果 和 （ ） 都存在零点， 且所有零点重级分别为 和 ， 并且使得（） 的零点重级大于叩， 则存在一个常数 满足， ， 使
4、得对任意复数 都有 （ ）（ ，且 是周期为 （） 的周期函数？ 引理为了证明本文的结果， 我们需要下面两个引理引理 ， 令整数 ， 假设除 之外， 凡 ， 都是非常值的亚纯函数，且满足这里？ 如果存在一个常数 和一个正实数子集 满足， 使得对任意的和：， ， 有 （ ：） （ ）（ ）（ ） ）（， ）乂成立， 那么 这里我们使用 理论中的标准记号更多细节， 请参考文献 或引理 如果 是周期为 （） 的非常数整函数， 那么 的零点集合是周期为 的周期点集 同时 的每个零点重级相同证 如果 的零点集合之 二 ， 结论显然成立 下面我们假设， 由于 是周期为 的非常数整函数， 很容易得到是周期为
5、 的周期点集取勿， 记其重级为以（勿） ， 则我们可以记（ ）（ （） ，其中？）是满足咖 ）一 的整函数 因此有（） （） ，这意味着 的零点 的重级 （） 满足 ） （）另一方面， 我们也可以记（） （） （） ，（ ）（ ） 王琼等：关于整函数零点和周期性的研究 其中 分是满足） 的整函数 因此有 （）（之） （之），这立刻推导出由 （ ） 和 （ ） 式可得到类似地， 我们有付（之） 幺 ） ） ） （ ） （），（）再由是周期为 的周期点集， 所以 的每个零点重级都相同 引理 证毕有定理 的证明由于 （）（ ）是周期函数， 不妨假设其周期为） 则对复平面中的任意， 我们（）（）（）（
6、 ） （ ）对 （ ） 式积分后得（） （）（ ） ，其中 （ ）是次数小于 ； 的多项式 则有 （）（ ） ）（） （） （ ）（ ）下面根据 是否恒为零， 我们分成两种情况来证明情形 三 我们有（）（ ）或（）前者意味着 的周期为 ？ ， 后者意味着 的周期为 这就完成了此情形下定理 的证明情形 存在一个整函数 和两个非零多项式 和 满足 ， 使得（）（） （）（： ）（）和（）（） （）（）（）由 （） 和 （ ） 式， 我们容易得到（） （） （） ， （ ）数 学 物 理学报 （）（） ） （）（）因为 是超越的， 所以整函数 显然不是常数用 替代 （ ） 式中的 那么结合 （ ）
7、式可得 （ ） （ ）（）（） （）（），整理上式得，二 ，其中 （） （ ） （）（ ）（ ） （，风？ （）及， （之）（）（ ） （ ）？我们可知 是超越的， 且 和 至少有一个是超越的？ 如果 是超越的，” ， ， 时， 我们有 （， ， ， ）（ ）（ ）（， ） 利用引理 ， 即得因此 （ ） 式就变成利用 （ ）和 （ ） 式， 我们有 ） （）（）（ ） 三 ） （ ）， （）（）（ ） （ ） （：） ）（之 ） （） ） ）也就是（）（）因此得到一个矛盾如果 是超越的， 相似的方法可得到 ，因此有（）（）这又出现矛盾 定理 证毕（ ）（ ）注意当（）（ ） 王琼等： 关于整
8、函数零点和周期性的研究 定理 的证明假设 （） 的周期为 ） ？ 首先， 我们来论证知是周期同为？ 的周期点集 为此， 我们分如下两种情形情形 心 进一步， 如果 ， 结论是显然成立的 如果 ， 注意到（ ）广（之土）（）（土），那么 勿 当且仅当 ： 巧（ ） ， 也就是说， （ （是周期为 的周期点集，因此这种情形下结论也是成立的情形 特别地， 如果 ， 根据情形 的证明方法可类似的得到 是周期为 ？ 的周期点集， 所以在这种情况下， 定理成立下面假设 取 勿 ， 记的重级为（ ） 注意由假设可知设（） （ ） （ ） （）（ ） （） （）？ （）；（ ）， （ （ ）（ ） （ ）从
9、（ ） 式和引理 中发现 （ （） （）由于 ， 利用 （ ） 式我们进一步得（） ，（）也就是说， 勿 和 勿 （ ） 类似地， 我们可以证明 和 功 ？ 因此，和 是周期同为 的周期点集由文献 ， 定理 中的一个结论可知， 存在常数 和周期为 的周期整函数 使得 具有下面形式（）（） ，这可以进一步推出（） ）（）（ ）另一方面， 由于广（）是周期为 的周期函数，那么我们也有（）（）然而， 从 （） 式中可以看出（）（）（ ）（ ）（） 数学 物 理 学 报 综合 （ ） 和 （） 式可得（） 二从而定理 证明完毕（）（） （）注记注 在定理 的证明中， 我们发现如果 （）（ ） 的周期为， 那么 的周期可能为 这种情形很容易发生 例如， （）如 的周期为 ，但是 （） 的周期为 注 形式 （ ）？ 中的指数 不能去除 例如， ？ 并不是周期函数， 而尸（； ） 却是周期函数致谢本文作者感谢 教授提出的宝贵建议和注记参 考 文 献 （） ， ，：， ？， ： ， ， ： ， ， （ ） ： ，（ ） ： ， ，（ ） ： ，（） ： ， ， ： ， ： ？， （，）：， （） ，：；（）：
