1、解 析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定摘要： 对解析函数的展开形式作了深入研究，给出了一种确定展开时是泰勒形式还是洛朗形式的方法 。关键词： 解析函数；泰勒展式；洛朗展式中图分类号： O174.51 文献标志码： A 文章编号： 1008- 6749（ 2009） 02- 0011- 03Idetifying the Taylor and Laurent Expansion Form of AnalyticFunctionLan Jiacheng（ College ofMathematics and Physics， Lishui University， Lishui Zhejiang32300
2、0， China）Abstract： In this paper， we concerned our study on the Taylor and Laurent expansion form of analytic functionsand gave a method identifying the Taylor or Laurent form while expansioned.Key words： analytic functions； Laurent expansion； Taylor expansion收稿日期： 2008- 09- 25基金项目： 浙江省自然科学基金资助项 目（
3、M103069）作者简介： 兰家诚（ 1964 ），男，浙江龙泉人，教授 。我们知道复变函数只有在其解析区域内才有幂级数（或双边幂级数）展开形式 ,泰勒级数（即幂级数）是洛朗级数（即双边幂级数）的特殊形式 。对于一个解析函数在指定解析区域内展开具体为何种形式，若我们一开始就能作出判断，将有助于我们检验其最终展开形式的正确性 。本文将给出这种判定方法，并以一个具体例子说明此方法的有效性，首先我们需引入一个定义和两个非常重要的定理 。定义 11设 D 为复平面上的区域 。若在 D 内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍含于 D，则称 D为单连通区域 。非单连通的区域称为多连通区域 。引理 11（泰勒定理
4、） 如图 1，设 f（ z）在区域D 内解析， D，只要圆 K： z- R 含于 D，则f（ z）在 K 内能展成幂级数f（ z） =n=0cn（ z-）n，其中系数 cn=12i乙f乙乙-乙 乙n+1d，: - =，0R；n=0，1，2，且展式唯一 。图 1图 2引理 21（洛朗定理） 如图 2，在圆环 H：rz- R r0,R 内解析的函数 fz 必可展成双边幂级数 fz =n=cnz- n，其中cn=12i乙f- n+1d n=0，1， ， 为圆周 - = r R ，并且展式唯一 。从以上 2 个引理及图 1，图 2 我们可以看出：（ 1）函数可以展成幂级数或双边幂级数，首先必须是在其解
5、析区域内 。（ 2）展开形式与展开点有关，如在 a 点处展开，其形式为 fz =n=0cnz- n或fz =n=cnz- n；当 a0 时，其形式则为 fz =n=0cnzn或 fz =ncnzn。（ 3）洛朗形式之所以比泰勒形式多出负次幂项的系数，主要是由函数在 或 内的解析性引起的 。若函数圆周 或 内解析，由于此时负次幂项系数为零，则展开形式为泰勒展式；若函数在圆周 或 内不解析（即至少有一个孤立奇点）时，由于负次幂项系数不为零，则为洛朗展式 。由此，我们可以得到以下结论 。结论 1 解析函数在孤立奇点的去心邻域内必可展成洛朗级数，在解析点的解析区域内可展成泰勒级数，而在解析点的包含孤立
6、奇点的邻域内可展开洛朗级数 。或者我们也可以叙述为：结论 2 解析函数在孤立奇点的多连通解析区域内可展成洛朗级数，在解析点的单连通解析区域内可展成泰勒级数，而在解析点的多连通解析区域内则展成洛朗级数形式 。以下我们将用一个具体例子对我们的结论加以说明 。例 1 将函数 fz =1z- 1 z- 3在以下解析区域内展开：（ 1）圆环 0 z-1 2； （ 2）圆环 2 z-1 ；（ 3）圆环 0 z-3 2； （ 4）圆环 2 z-3 ；（ 5）圆 z-2 1； （ 6）圆环 1 z-2 。解 显然，在 z1 和 z3 是函数 f (z)=1(z-1)(z-3)的 2 个孤立奇点，所以我们判定函
7、数在以上所给的（ 1） （ 4）这 4 个解析区域内的展开为洛朗级数形式，在（ 5）中的展式为泰勒级数，在（ 6）中展开为洛朗级数 。首先将函数 f（ z）分解成部分分式f（ z） =121z-1-1z-3 ，然后采用间接展开法，利用公式11-z=n=0znz 1 。（ 1）在孤立奇点 1 的最大去心邻域 0 z-1 2 内， 0z-121，fz =121z-1-1z-3 =121z-1-1z-1-2 =121z-1+1211-（z-1） 2 =121z-1+14n=0z-12 n=121z-1+n=0z- 1n2n+2。（洛朗级数）（ 2）在圆环 2 z-1 内，有2z-11，从而fz =1
8、21z-1-1z-3 =121z-1-1z-1-2 =121z-1+1z-111-2 （z-1） =121z-1-1z-1n=02z-1 n=121z-1-n=02nz- 1n+1。（洛朗级数）（ 3）在孤立奇点 3 的最大去心邻域 0 z-3 2： -a =丽 水 学 院 学 报12 2009 年内 ， 0z-321，f-z =121z-1-1z-3- -=121z-3+2-1z-3- -=12121（z-3） 2 +1-1z-3- -=14n=0 - -1nz-32- -n-121z-3=n=0 - -1nz- -3n2n+2-121z-3。（洛朗级数）（ 4）在圆环 2 z-3 内，有2
9、z-31，从而f-z =121z-1-1z-3- -=121z-3+2-1z-3- -=121z-311+2 z- -3-1z-3- -=121z-3n=0 - -1n2z-3- -n-1z-3 =n=0 - -1n2n-1z- -3n+1-121z-3。（洛朗级数）（ 5）在圆 z-2 1（解析点的最大单连通域）内f-z =121z-1-1z-3- -=121z-2+1-1z-2-1- -=121z-2+1+11- z- -2- -=12n=0 - -1nz- -2n+n=0 z- -2n =12n=0- -1n+ 1z- -2n=n=0 z- -22n。（泰勒级数）（ 6）在圆环 1 z-
10、2 （解析点的多连通解析区域）内，有1z-21，从而f-z =121z-1-1z-3- -=121z-2+1-1z-2-1- -=121z-2+1+11- z- -2- -=121z-211+1 （z-2）-1z-211-1 （z-2）- -=121z-2n=0 - -1n1z-2- -n-1z-2n=01z-2- -n- -=12n=0 - -1n1z- -2n+1-n=01z- -2n+1 =12n=0- -1n+ 11z- -2n+1=n=01z- -22n+1。（洛朗级数）此例的结果说明所给函数在指定区域内的具体展式与我们最初的判断一致，有兴趣的读者也可将此方法应用到其他例子的验证上 。参考文献： 1钟玉泉 .复变函数论 M . 第 3 版 . 北京：高等教育出版社， 2004. 2张忠诚，唐翠娥 . 解析函数罗朗展式形式的确定 J .黄冈师范学院学报， 2003（ 3）： 17- 18. 3吴琼，田进誉 . 试论解析函数洛朗展开式形式的确定方法 J .晋中师范高等专科学校学报， 2004（ 4）： 329- 330.兰家诚：解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定第 2 期 13
