1、：基于最大模原理的双边空间分数阶方程的二阶隐式有限差分法摘要 ：应用最大模原理 ，给出一类解变系数双边空间分数阶偏微分方程的隐式有限差分格式 ，并证明这类格 式当分数阶导数槡，时无条件稳定且由此得出其收敛阶为（）。最后给出数值算例验证 。关键词 ：变系数双边空间分数阶偏微分方程 ；有限差分格式 ；无条件稳定 ；收敛阶中图分类号 ： 文献标志码 ： 文章编号 ：（）近几十年来 ，分数阶微分方程在工程 、物理 、金融 、流体等领域得到了广泛应用。因为分数阶导数具有良好的局部记忆性质 ，所以许多自然物理过程和动力系统过程用 分数阶微分方程 模拟通常比整数阶微分方程更符合实际情况 。对于一般的分数阶微
2、分方程 ，比如变系数微分方程 ，其解析解是无 法给出的 ，而有的方程即使能求出解析解 ，其解析解中大多都包含有特殊函数 ，近似计算非常 困难 ，故对于分数阶微分方程的数值算法的研究就显得非常重要 。目前 ，国内外许多学者都致力于研究分数阶偏微分方程的数值解 。年 ，等人给出两种数值方法 ，分别利用方法和方法离散空间分数阶导数 。年 ，和等人提出移位算子求解单边及双边空间分数阶对流扩散方程的有限差分格式 ，用定理证明了稳定性 ，且收敛阶为一阶 。年 ，等人应用方法分析了分数 阶微分方程的有限差分格式 。年 ，孙志忠等人利用能量方法证明了全离散格式的对流波动方程的稳定性 。年 ，刘发旺和庄平辉等人
3、研究了时间空间分数阶对流扩散方程的显式和隐式差 分格式 ，但是收敛阶为一阶 。年 ，许传炬等提出了解时间分 数阶扩散方程的谱方法 。还有很多学者做的工作这里不一一详述 。本文研究下列变系数双边空间分数阶偏微分方程 ：（，）（，）（，）（，）（，）（，）， （）其中 ，（，），（，），（，）是源项 。满足的初边值条件为 ：（，）（），（，）（，）。 （）本文基于最大模原理的思想 ，将利用经典算子和移位算子进行加权平均构造新的算子近似求解方程 （）中左 、右导数项（，），（，），给出空间上具 有二阶精度的隐式有限差分格式 ，并且用最大模原理证明其稳定性及其收敛性 。预备知识在方程 （）中 ，关于左
4、 、右阶导数的形式为（，）（）（）（），（，）（）（）（）（）烅烄烆，（）其中 ，（为整数 ），是伽马函数 。 收稿日期：修回日期：网络出版时间：资助项目 ：宁夏高等学校科学技术研究项目 （）作者简介 ：朱琳 ，女 ，副教授 ，研究方向为偏微分方程数值解 、计算流体力学 ，：网络出版地址 ：计算左 、右导数的经典公式和移位公式分别为（，）（，）（），（，）（），）（烅烄烆）。（）（，）（，）（），（，）（），）（烅烄烆）。（）其中 ，是正整数 ，是系数 ，且定义如下 ：，（）（）（）（）（）！。 （）另外 ，还具有如下性质 ：，（烅烄烆）。（）二阶隐式差分格式的建立令，（，），（，），（，），
5、（，），其中 ，和分别表示时间和空间上的步长 。将 （）式和 （）式加权平均近似计算（，），（，）代入方程 （）中得如下有限差格式 ： ，（） ，（） ， （）其中 ，是加权系数且。令，且知，从而方程 （）式可以变形为（）（） （）（）（）（）。 （）考虑了方程 （）的初边值条件 ，可以把 （）式写成如下的矩阵形式 ：， （）其中 ：，（）（）（）， （）（）（），（），（），（），（），烅烄烆 。（）下面证明当时 ，隐式有限差分格式 （）具有二阶精度 。定理设（）且（），设 ：（）（）（）（）， （）（）（）， （）重庆师范大学学报 （自然科学版 ）：第 卷（）是分数阶导数定义 ，积分下限是
6、。则当时 ，对都有（）（）（）成立 。证明设（）珚（）（）是（）的傅里叶展开 ，则珚（）是（）的傅里叶展开 。令（）（）， （）将上式进行傅里叶展开 ，并且由 （）式可得（）（）（ ）（）珚（）（）珚（）（）（ ）珚（）（）（）珚（）， （）其中 ，（）（）（），且（）（ ）（）（）。 （）令，得（）（），（）（）（）。 （）由上式知（）（）（）（）（）（ ） （ ） （）， （）则令，得（）（），即对于，（） 。又因为（）（）（）（）（）珚（）（）珚（）（）（）珚（）（）珔（，）， （）其中 ，珔（，）（）（）珚（）且（，）珔（，）。因为（）且（），则 得（ ）珚（），所 以珔（，）珚（），
7、从而（，）。因此 ，对于，（）（）（）成立 。对于右导数项 ，用同样的证明方法可以得到相似的结论 。 证毕定理设（）且（），设 ：（）（）（）（），（）（），（）是分数阶导数定义 ，积分下限是。则当时 ，对都有（）（）（）成立 。稳定性分析为了给出稳定性条件 ，先对方程组 （）（）的系数矩阵做如下分析 。当，且时 ，（）自然成立 ，所以（）（）。 （）若（），由 （）式可得。 （）当时 ，（）式等价于，又有，可以得到此不等式的解为槡。 （）第 期朱琳 ，等 ：基于最大模原理的双边空间分数阶方程的二阶隐式有限差分法综合上面分析和 （）式 ，从而可以得到 ：，（）（），（）（），（），（），烅烄烆
8、 。（）综合以上分析 ，得到下面稳定性定理 ：定理若且槡，则对于 （）式定义的加权二阶有限差分格式 ：（） ， （）（） ， （）（） 。 （）证明（）用 反 证 法 。记 ，假 设 对 某 个使 得 （）式 不 成 立 ，则 记是 集 合 ， 中的最小值 ，则， ， ，。由 （），（）式 ，且方程 （）左边的所有系数加起来等于一 ，则对这个代入方程 （）：（）式左边， 。由此得到矛盾 ，所以 （）式成立 。（）由 （）式可直接推得 ： ，反复用这个公式就可以得到结论（）。（）由范数的等价性 ，自然成立 。 证毕收敛性分析定理设（，）是方程 （）、（）的准确解 ，是二阶加权有限差分格式 （）的
9、计算值 ，则当且槡时 ，使得（，）（），其中是正常数 。证明令（，），且表示点 （，）的截断误差 ，则 ：（）（）（，）（，）（，）（，）（）（，）（， ）（，）（）（，）（， ）（）。设， ， ， ，直接计算就可以得到， ， ，烅烄烆。（）由定理的结论 （）可得（，） （）。数值算例考虑如下变系数双边分数阶偏微分方程重庆师范大学学报 （自然科学版 ）：第 卷（，）（，）（，）（，）（，）（，）， （）表 方程 （）用加权二阶隐式有限差分求解在 时的最大误差和收敛阶（，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 其中（，）（）（）（），（，）（），（，）（）（），其边界条件为（，）（，），初始条件为（，）（）。此方程的精确解为（，）（）。表给出了此方程当时由本文提出的加权隐式有限差分方法得到的最大误差 （，）和收敛阶（）（），代表相邻两次的最大误差 ，代表相邻两次的步长 。从表中可以看到 ，本文所构造的加权隐式有限差分格式具有二阶精度 ，需要说明的是时间步长都取空间步长的平方 ，这样可以达到整体收敛阶为二阶 。参考文献 ：，：，：，：，：，：，：，：，：郭柏灵 ，蒲学科 ，黄凤辉分数阶偏微分方程及其数值解北京：科学出版社 ，：，程金发分数阶差分方程理论厦门：厦门大学出版社 ，：，（，；，）：，（）槡，：；（）：
