1、133 4、 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 （ 3 课时） 一、 目的要求 1、 掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数表达式，掌握解析函数零点的孤立性及内部唯一性定理 . 2、 掌握解析函数的最大模定理 并灵活运用 应用 . 二、 重难点 1、 重点 零点概念，解析函数零点孤立性及内部唯一性定理，最大模定理 . 2、 难点 解析函数特性的内在联系的深刻理解和应用 . 三、 教法 1、 课堂讲授法，采用启发式 2、 适当重组教材，突出本质和重点 四、 教学手段 电教 、 CAI演示（约 3 课时） （一）解析函数零点的孤立性 1、 零点 定义 4.7 设 ()fz在点 a 的邻域 (
2、, )NaR 内解析 ， 且 ( )=0fa ， 则称 a 为 ()fz的零点 ，即 a 为解析函数 ()fz零点 ()fz 在 a 解析 ， 且 ( )=0fa 注 一般称 ( )=f z A 的 0z 为 ()fz的 A 点 设 ()fz在 ( , )NaR 内的 Taylor 展式为 ()n0()( ) = ( )!n nfaf z z an= ( 1 )2 ( 1 )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . . . ( )1 ! 2 ! ( 1 ) !n nf a f a f af a z a z a z an = + + + () () ( ) . z - a!n nfa z
3、an+ + （ 0 ， 使 L 上任一点与区域 D 的边界上任一点的距离大于 ， 在 L 上一次取 0 1 2 1, , , ., ,nn z =z z z z z， 使 10kz ， 而其它任意相邻两点间的距离小于 ， 作每点 jz 的 邻域 jjk （ =1,2,.,n)（如图） ， 显然 当 jn 时 ，1zjjkD+ ， 由于 ()fz在 0k 内恒为 0，故 () 1( ) 0 , 0 ,1, 2 , .nf z n= 于是 ()fz在 1k 内泰勒展式的 系数亦为 0， 从而 ()fz在 1k 内恒为 0。 一般地，已经证明了 ()fz在 ( 1)jk j n 内恒为 0，就可以推
4、出它在 1jk+ 内恒为 0，最后就得到 ( ) 0fz = 。 据 z 的任意性 ， 定理得证 . 136 据 定理 4.19 及引理 1 即 得 定义 4.20 设 （ 1） 1()fz及 2()fz在区域 D 内解析 （ 2） D 内有一收敛于 a 的点列 ()nnz z a 使1 n 2( ) ( )nf z f z= ， 则在 D 内 12( )= ( )f z f z 证 令 12( )= ( ) ( )f z f z f z ， 12( ) ( )f z f z， 在区域 D 内解析 ， 故必连续 12 1( ) ( ) l i m ( ) ( ) 0n n nnf z f z
5、f z f a= = = 从而必存在 a 点的某一邻域 U（ a,R） ， 使在U(a,R） 内 ()fz满足 定理 4.19 之条件 于是改邻域内 ( ) 0fz ， 又据引理 4.1 知 ()fz在解析区域 D 内恒为 0，故 在 D 内12( )= ( )f z f z 定理 4.21 设 （ 1） 1()fz及 2()fz在区域 D 内解析 （ 2）在 D 内某一子区域 （或一小段弧上） 12( )= ( )f z f z ， 则在 D 内 12( )= ( )f z f z 定理 4.22 一切在实轴上成立的恒等式，在 z 平面 C 上成立 ， 只要该等式两边函数在C 解析 。 例
6、1 在实轴上等于 sinx 的整函数 ()fz只可能为 sinz . 证 设 ()fz 为 C 上解析函数 ，且在实轴上等于 sinx ， 则在复平面上解析的函数( ) sinzfz 在实轴上为 0， 从而 ( ) s i n z = 0 ( ) = s i n z ( z C )f z f z 例 2 问在原点解析，在 1= ( 1, 2, 3,.)znn = 处取下列多组值的函数 ()fz是否存在 ？ （ 1） .0,2,0,2,0,2, （ 2） 11, 0, , 0,.351,0, （ 3） 1 1 1 1, , , ,.3 3 5 51,1, L D 137 （ 4） 1 2 3 4
7、, , , , .3 5 7 9 2 1nn +（ ） 解 （ 1）不存在，若 112 1 2 1f nn （ ） = ， 且在 0 点解析的 ()fz， 由n 1lim 021n =，由唯一性定理知 在 =z0的某邻域内 ( )=0fz 与 1( ) 22f n = 相矛盾 （ 2）不存在，方法同（ 1） （ 3）不存在，若 112 1 2 1f nn （ ） = ， 且在 0 点解析的 f（ z） ， 由n 1lim 021n =知 ()f z z （在 a 的某邻域内 ） 1 1 1()2 2 2 1f k k k = （ 4）函数值点列为 1= ( )121 2n nNn n + +，
8、 作 1( )=2fz z+ ， 在原点 0 解析，在 1=zn 取 11( ) = ( )1212nf n Nnnn =+ 所求符合 题设条件的函数存在 ， 即 1( )=2fz z+ . 例 3 设（ 1） ()fz及 (z)g 在区域 D 内解析 （ 2）在 D 内 ， ( ) (z) 0f z g 试证 在 D 内 ， ( ) 0fz 或 (z) 0g 证 若 (z) 0g ， 则结论真 若 0 Dz ， 使 0(z ) 0g ， 因 (z)g 在点 0z 连续 ， 故 0z 的邻域 KD ， 使 (z)g 在K 内恒不为零 。 而题设 ( ) ( z ) 0f z g （ z K D
9、） 故有 ( ) 0fz （ z K D） 由唯一性定理（ 定理 4.21）知 ( ) 0fz . 例 4 用唯一性定理从 sinx 的幂级数展开式得到 sinz 的幂级数展式 . 解 已知 35sin = . . x3! 5 !xxxx + + 显然幂级数 35.3! 5!zz + z 的收敛半径也为 + ， 它表示 z 平面 C 上的一个解析函数138 f(z) ， 显然在实轴上 ( ) s i n ( ( ) s i n )f z z f x x= ， 因 sinz 在 C 上解析 ， 又在实轴 上与()fx相等 ， 由唯一性定理知 (z) sinfz 35sinz . z3! 5 !z
10、z + + =z 易见 应用唯一性定理（ 定理 4.21 or 定理 4.22），在数学分析中常见的一些初等函数的幂级数展式都可以推广到复数域上来（另见 168P 例 4.18 ） （三）最大模原理 定义 4.23 设 ()fz在区域 D 内解析 ， 则 ()fz 在 D 内任何点都不能达到最大值 ， 除非在 D 内 ()fz恒等于常数 . 证明 若用 M 表示 ()fz 在 D 内的最 小上界 ， 则必有 0M0 ， NN ， 使当 nN， Np 有 12( ) ( ) . . . ( )n n n pf z f z f z + + + + + 在 D 上恒成立 ； 据最大模原理，该不等式在 D 内亦成立 ， 故其在 D 成立 ， 据 Cauchy 一致收敛准则，1 ()nn fz=在 D 上一致收敛 。 八、 预习要求 预习并思考 1、 能 否利用 () 0()!nn fza n=求 Laurent 系数 na ？ 为什么 ？ 2、把 函数展成 Taylor 级数和 Laurent 级数的方法有哪些相同的？ 3、 幂级数与 Laurent 级数关系如何？ 4、 参考文献【 1】、【 6】
