1、27 4、 复 球面与无穷远点 一、 目的和要求 1、 了解复球面与复平面的关系 ， 掌握 复球面及无穷远点的相关概念 及相关规定定 . 2、 了解无穷远点与复球面上的哪一点相对应；理解广义极限与广义连续的概念 复述出 极限连续的性质 . 二、 重难点 1、 重点 无穷远点的领域等相关拓扑概念、 扩充复平面 . 2、 难点 扩充 复平面 相关 的 拓扑 概念 . 三 、 教 法和教学手段 课堂讲授法 ， 采用启发式，讨论式； 信息化教学 四 、 教学内容 1、 复球面 如图 球面 与 z 平面 相切于 o ， 过 o 作一垂线 on N 北极， o 称为南极，对 ( , ,0)xy， 连 zN
2、 交球面 2 2 2( 1) 1x y u 于点 P.P 称为 z 点的求极投影，z 称为 P 的测地投影从而以此建立 z 平面 N ， 若 |z 越大， P 越接近 N ， 反之亦然，我们假想 z 平面上有一个理想点，模长为无穷远点与 N 对应，记为 （ 理解为一个“复数” ） . 定义 复平面加上 称为扩充复平面，记为 与扩充复平面相应的整个球面称为复球面 . 注 1. 复球面是扩充 复平面的几何模型，其优越性在于将无界的复平面化为有界的形式来表示 . 2.一点紧化定理 。 2、 几点规定 （ 1） 0,0, , , 0 无意义 . 28 （ 2） , 0 ,aa a aa 时 ， （ 3
3、） 0 ( ) , , 0bb b b b 时 可 为 （ 4） | ， 但 的实部，虚部及辐角无意义 . （ 5）复平面上的每一条直线都通过 ， 同时，没有一个半平面含 3、 扩充复平面上的几个概念 （ 1）邻域 在扩充复平面上，满足 1|z （ 充分大 ） 的所有点 z 所成之集，称为 的一个邻域，记为 ()N ， 类似可给出 关于 为集 E 的聚点，内点，边界点的概念 . 注 为 的内点，是复平面的唯一边界点（上闭集必为有界） 扩充复平面是唯一无边界的区域 . 上闭集未必有界 Jordan 定理依然成立 . （ 2） 单连通区域 在 上，区域 D 内任一条简单闭曲线 内部或外部（含 ）仍
4、含于 D，则称 D 为 单连通区域 .如 | | 0zR在 为多连通区域，在 为单连通区域 . 注 上不含 的区域定义与 内相同，含 的区域为 上一区域与 的一个邻域之并集 . （ 3）关于 ()fz的极限及连续（广义） 一般不具有 常 义 情形 的性质，其运算要符合上述规定 . 广义极限 当 0zE为 聚点时， l i m ( ) 0 , 0 , | | ( )zzE f z A z z E 使 当 时 ， | ( ) |f z A 类似地可给出0lim ( )zzfz 及 lim ( )z fz 的定义 区别 29 limnz z 可视为点列 nz 趋向 C 上任何点列有聚点 . 广义连续
5、 若 0 , ( )z E f z E 在有意义 or 0()fz ， 且有 0 0()lim ( ) ( )zzzE f z f z 则称 0()f z z于 广义连续 . 例 5 1()fz z 在广义连续 . 证 10, ( )z f z z 时 ， 连续，又 1lim ( ) 0 ( )z f z f 011lim (0) 0z fz ， 故 ()fz在 连续 . 注 1( ) ; ;f z z z z 及多项式函数皆为 的连续函数 . 五 、 小结 复球面 、 扩充复平面 、 无穷远点相关概念与规定 、 广义极限与广义连续 六 、 作业 P43 11、 （ 1）（ 4） 七 、 说明与预习要求 1、 无穷远点邻域正好对应着复球面上以北极 N 为心的一个球盖 .在 上即为任何一个圆周的外部（含 ），即 ( ) : | |N r z a 就称为以 za 中心的 z 的邻域（包括 ） ； ( ) : | |N r z a 就称为以 za 为中心的 z 的去心邻域 ； 为 圆环 0|r z z R 的退化情形当 0a 时即为 T、 B P36-36及 P196解说的情形 . 2、 预习思考题 （ 1）如何理解 ()fz在闭区域 D 上解析？ （ 2）可导与解析的关系？ 3、 参考文献 1， 6
