1、教 学 目 的 ： 理 解 并 掌 握 作 为 孤 立 奇 点 时 类 型 的 判 定 .知 识 梳 理 ：一 、 定 义如 果 )(zf 在 无 穷 远 点 z 的 去 心 邻 域 zR 内 解 析 ， 则 称 点 为 )(zf 的 孤 立 奇 点 .例 如 ， 由 于 2z z 在 有 限 复 平 面 上 除 去 2z 外 解 析 ， 所 以 它 在 的 去 心 邻 域 z2 内解 析 ， 故 z 是 2z z 的 孤 立 奇 点 .二 、 分 类1.为 了 研 究 )(zf 在 z 去 心 邻 域 内 的 性 态 ， 作 变 换 zt 1 ， 并 且 规 定 这 个 变 换 把 扩 充
2、z 平面 的 无 穷 远 点 z 映 射 成 扩 充 t 平 面 上 的 点 0t .同 时 ， 把 扩 充 z 平 面 的 z 的 去 心 邻域 zR 映 射 成 扩 充 t 平 面 上 的 0t 的 去 心 邻 域 Rt 10 ， 令 )()1()( zftft ， 显然 )(t 在 Rt 10 内 解 析 ， 即 0t 是 )(t 的 一 个 孤 立 奇 点 . 这 样 ， 在 zR 内 对)(zf 的 研 究 ， 就 转 化 为 在 Rt 10 内 对 )(t 的 研 究 .定 义 如 果 0t 是 )(t 的 可 去 奇 点 、 m 级 极 点 或 本 性 奇 点 ， 则 称 z 是
3、 )(zf 的 可 去 奇 点 、m 级 极 点 或 本 性 奇 点 .2.由 于 )(zf 在 圆 环 域 zR 内 解 析 ， 所 以 在 该 圆 环 域 内 它 可 以 展 开 成 洛 朗 级 数 ， 101)( n nnn nn zcczczf其 中 C nn fc d)(i21 1 ),2,1,0(n ， C 为 zR 内 绕 原 点 的 任 何 一 条 正 向 简单 闭 曲 线 . 因 此 )(t 在 圆 环 域 Rt 10 内 的 洛 朗 级 数 为 101 cc)( n nnn nn tctt因 此 ， 根 据 定 义 1 可 得定 理 1 设 )(zf 在 z 的 去 心 邻
4、 域 zR 内 的 洛 朗 展 开 式 中 不 含 正 幂 项 、 含 有 有 限多 的 正 幂 项 且 mz 为 最 高 正 幂 、 含 有 无 穷 多 的 正 幂 项 ， 则 z 分 别 为 )(zf 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 、 本 性 奇 点 .可 见 ， 无 穷 远 点 作 为 函 数 的 孤 立 奇 点 ， 它 的 分 类 与 有 限 远 的 孤 立 奇 点 相 反 ， 是 以 函 数 在无 穷 远 点 的 去 心 邻 域 的 洛 朗 展 开 式 中 正 幂 项 的 多 少 作 为 依 据 的 .又 注 意 到 )(lim)(lim 0 tzf tz ， 这 样 ， 前
5、 面 关 于 函 数 在 有 限 奇 点 的 极 限 的 相 关 结 论 都 可以 平 移 到 无 穷 远 点 的 情 形 .定 理 2 设 z 是 函 数 )(zf 的 孤 立 奇 点 ， 则 z 是 )(zf 的 可 去 奇 点 、 极 点 或 本 性 奇 点的 充 要 条 件 是 极 限 )(lim zfz 存 在 （ 有 限 值 ） 、 为 无 穷 大 或 不 存 在 也 不 为 无 穷 大 .例 题 讲 解 ：例 确 定 下 列 函 数 在 z 奇 点 的 类 型 . 若 是 极 点 ， 指 出 它 的 级 .（ 1） 2z z ； （ 2） zcos ； （ 3） 25 )2( 1
6、zz z ； （ 4） zsin1 .解 （ 1） 方 法 一 因 为 121 1lim2lim zz z zz ， 所 以 z 是 2)( z zzf 的 可 去 奇 点 . 如果 令 1)( f ， 那 么 2)( z zzf 就 在 z 解 析 .方 法 二 2)( z zzf 在 的 去 心 邻 域 z2 内 可 以 展 开 成 nnn zzzzzz zzf 2)1(842121 12)( 32它 不 含 正 幂 项 ， 所 以 z 是 2)( z zzf 的 可 去 奇 点 .（ 2） 函 数 zcos 的 展 开 式 znzzzz nn ,)!2()1(!4!21cos 242含
7、有 无 穷 多 的 正 幂 项 ， 所 以 是 zcos 的 本 性 奇 点 .（ 3） 25 )1( 2zzz 在 的 去 心 邻 域 z1 内 解 析 ，设 25 )1( 2)( zzzzf ， 令 zt 1 ， 则 )(1)1( 211)1()( 2252 tgtttttft .由 于 )(tg 在 0t 解 析 ， 且 0)0( g ， 所 以 据 定 理 5.2 知 ， 0t 是 )(t 的 二 级 极 点 ， 因 此 z是 )(zf 的 二 级 极 点 .（ 4） 使 分 母 zsin 为 零 的 点 kz ),2,1,0(k ， 它 们 都 是 zsin1 有 限 远 的 奇 点
8、 ，且 当 k 时 ， kz ， 所 以 在 的 任 何 去 心 邻 域 zR 内 ， 都 有 zsin1 的 奇 点 ，因 此 z 不 是 zsin1 的 孤 立 奇 点 .重 难 点 注 记 ：重 点 ： 孤 立 奇 点 的 定 义 以 及 分 类 的 定 义 ；难 点 ： 利 用 极 限 或 洛 朗 级 数 展 开 式 的 方 法 判 定 孤 立 奇 点 的 类 型 .知 识 点 总 结 ：1. 作 为 函 数 的 孤 立 奇 点 ， 其 分 类 与 有 限 奇 点 相 反 ， 是 以 函 数 在 的 去 心 邻 域 的 洛 朗 展 开式 中 正 幂 项 的 多 少 作 为 依 据 ；2.注 意 到 )(lim)(lim 0 tzf tz ， 这 样 ， 前 面 关 于 函 数 在 有 限 奇 点 的 极 限 的 相 关 结 论 都 可 以 平移 到 的 情 形 .
