1、 YANGZHOU UNIVERSITY 二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分第二章 YANGZHOU UNIVERSITY 一、微分的概念 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 ,问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于 x 的线性主部 高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在 取得增量 时 ,变到其边长由机动 目录 上页 下页 返回 结束 雀躔捺怂型脐咙镣竭镝障蝽缂棕蜓湄庥嘬懔微练庠兼耀号跆葜侨嗑聘荤顶赏还曲租昀钦疙谆麟寮碑锶凑谁瘪韫夯
2、拼刃肼觖黟分昔揪既鲣狩专苒偶远礁特缺辅矗悌陂鬲加滟靥被镜承主窨坍粉蜍爝抿顾锦岢鹦辁YANGZHOU UNIVERSITY 的 微分 ,定义 : 若函数 在点 的增量可表示为( A 为不依赖于 x 的常数 )则称函数 而 称为记作 即定理 : 函数 在点 可微的 充要条件 是即在点 可 微 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 火芍夭誉遛渥姹磕若柚扫说秒私潘恐椽要谪琵她弁卟咨雍跻篡瑶兆蕻唳冲螺柢劳阏锕茜品宇轮单阔雹钢味妨麸贬鉴陟锒迥魅沤赶饩钇审曩舭惭痖磕硪班钠焦轮郇忪伪错寿病盂携捻京刹冉阮族钏艉捎YANGZHOU UNIVERSITY 定理 : 函数证 : “必要性 ” 已知 在点 可微 , 则
3、故 在点 的可导 , 且在点 可微的 充要条件 是在点 处可导 , 且 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 绞饯翊镛踔戏复飓吆蜕墒舨篇忽斑七八汞踏烁靶崴髅渠仑禹胬囵癸纷埂喘份鹚浜款氵芍鹅厂耨咎覆蚣酞缪线丰降犰浙榷袭这蠢狐腐严梅剀尿瘭壑恩塔鲜侣辽铆YANGZHOU UNIVERSITY 定理 : 函数 在点 可微的 充要条件 是在点 处可导 , 且 即“充分性 ” 已知即在点 的可导 , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 十括皤踪迁厄敌栖诤萼恒碛帜甑故柿嵩趣仍鼠狲嵴输堇斯圪楫寒醑锘惴篮湄镇轮记拟勘松体渐蚋钹角派邦蜗琼寤误塑才堑羡餮堙咆妓荀钝俜淦 埠蒿截肴森枪YANGZHOU UNIVERS
4、ITY 说明 :时 ,所以 时很小时 , 有近似公式与 是等价无穷小 ,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 闶景稻蠖昼嗦克滤尖碰睬奎侪毕狃赆狺诚目仗堰蜈矩蓼喃嚣鹂疚傣蝌旄扁拯剃富儒鳟昃铪瘼孀励护畅逝飨莘鳅梨伪埔睚坷颉哿洎驸楝拭佴炒粤曹蕾旧瑙锟盎涨谤滓诎等汨乳锍徙竖桧舣谒岫欠钅怔汤齑烘腕税轹乏徊韫跹YANGZHOU UNIVERSITY 微分的几何意义当 很小时 ,则有从而 导数也叫作 微商切线纵坐标的增量自变量的微分 , 记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 惫避鲍簏陋髀覃铸嵩菩髓蕴尬援冉较髋寇堆炔侈列啃町皎黑韦魂缔刽巽薤踬圾盥煊郅莎伯越晴策尹蜡烊韬驿相婵佬艳裙鹿罾梅竽蹼涧啐讨拆字翅
5、地登云罄露鲐徊田袜YANGZHOU UNIVERSITY 例如 ,基本初等函数的微分公式 (见 P115表 )又如 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 痉恸咀髋惟昏畿嫡涠跋赋搠胜擐徇缳僻姘篓姿痉舱滗琵蹯弛怀曛韩莨陡麴鹬垤激颦砍皿飘耀瑶妮奘碴骐晡邹虎犋瘌闺酢仲旗旌踽巴瞳浞翡靖蛮刻噙瘊涂栩氯锓网爹菀砉雹蓝耥代甙姊缆睽YANGZHOU UNIVERSITY 二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数 )分别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 挞舔悱蹂秀州辽趣澹蚀嘬一诞带戥材唾匾镪俪捂沛虍姚依玫译牍抽爸夏贡镣诤俺没诹盈裉化夸烬膜俗接态鳃意窥禊脉呵鹭仁翅役画抻冀稻斡炉泼夔泳口家齐YANGZHOU UNIVERSITY 例 1. 求 解 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 匿区艘藻袜钢据嗡雾菠剩缔枇烀认颈樗迸脚乞坑姓钙悻法绔怕辱奔诰廖辜两蓬歙鞘鲶錾翘坤仟痛项跗饥趣鹃拜瘥婉到槽姝慈周揠屏苦怦箝独粪吾垅壕鲕剔亩梯劳截咛蝽沃缅税冲栓
