1、4 结构地震作用及响应 4 结构 地震作用 及响应 结构地震作用及响应水平地震 竖向地震 多维地震S D O F 地震作用M D O F 地震作用振型分解反应谱法底部剪力法动力时程分析法高耸结构高层建筑大跨度结构长悬臂结构结构响应设计谱静力弹塑性分析法j 振型地震作用设计谱地震响应组合 知识结构图 4.1 概述 使结构产生内力或变形的原因称为“作用”，分直接作用和间接作用两种。各种荷载（如自重、风载等）属于直接作用，而各种非荷载作用（如混凝土收缩、温度变化、基础沉降等）为间接作用。结构地震反应是由于地震动通过结构惯性引起，因此地震作用属于间接 作用。地震作用与一般荷载的区别在于：地震作用不仅与
2、地震动本身有关，而且 与结构自身的动力特性（如自振周期、阻尼等）4 结构地震作用及响应 有关。 由地震动引起的结构内力、变形及结构运动加速度与速度等统称为结构地震反应分析。结构抗震设计理论主要包括地震作用的确定和结构抗震验算方法等。地震反应分析和结构抗震理论是近一百年来发展形成的一门新兴学科。由于结构地震反应决定于地震动和结构动力特性，因此，地震反应分析也随着人们对两方面的认识而发展。根据计算理论不同，地震反应分析理论可划分为静力理论、反应谱理论和动力理论三个阶段。 1）静力理论阶段 国际上最早形成抗震理论并用于抗震设计的国家是日本。由于日本地处环太平洋地震带上，全国均属于强震区，地震活动频繁
3、，致使抗震研究和理论发展也较早。早在 19 世纪末期即已开始震害预防研究，在 20 世纪二十年代，在吸取了日本关东地震和其它地震经验的基础上，大森房吉、佐野利器等即提出静力计算法来近似分析地震动影响。 静力理论的基本假设为：将结构视为刚体；假设各质点振动加速度均等于地面运动加速度。即将结构的自重乘以水平烈度系数来确定水平方向地震作用最大值，按静力均匀施加于结构各个部位，进行静力分析，由于此法考虑质点振 动加速度仅与地面运动加速度即烈度相关，所以又称为烈度法。尽管静力法忽略了地震作用与结构动力特性直接相关、结构为非刚性等关键特性，造成求出的地震作用失真，仅适用于固有周期极短（ T150 的黏性土
4、和粉土，坚硬黄土 500 vs 250 中软土 稍密的砾、粗、中砂，除松散的细砂、粉砂外， fak 150 的黏性土和粉土， fak130 的填土、可塑新黄土 250 vs 150 软弱土 淤泥和淤泥质 土，松散的砂，新近沉积的黏性土和粉土， fak130 的填土，流塑黄土 vs 150 注：表中 fak为由载荷试验等方法得到的地基承载力特征值（ kPa）， vs为岩土剪切波速 。 建筑场地类别，我国抗震规范根据场地覆盖层厚度和土层等效剪切波速这两个指标按表 4.2划分为 I、 II、 III 和 IV 四类。 其中类分为 I0 和 I1 两个亚类。当有可靠的剪切波速和覆盖层厚度且其值处于表
5、4.2 所列场地类别的分界线附近时，应允许按插值方法确定地震作用计算所用的特征周期。 表 4.2 各类建筑场地的覆盖层厚度 d 单位 ： m 岩石的剪切波速或 土的等效剪切波速（ m/s） 场 地 类 别 I0 I1 II III IV vs 800 0 800 vs 500 0 500 vse 250 5 5 250 vse 150 3 350 50 vse 150 3 315 1580 80 注：表中 vs系岩石的剪切波速。 【例 4.1】已知某建筑场地的钻孔地质资料如表 4.3 所示，试确定该场地的类别。 表 4.3 钻孔地质资料 土层底部深度（ m） 土层厚 度（ m） 岩土名称 土层
6、剪切波速 vsi（ m/s） 1.5 1.5 杂填土 180 3.5 2.0 粉土 240 7.5 4.0 细砂 310 16.5 8.0 砾砂 520 【解】 （ 1）确定覆盖层厚度 d： 由于地表以下 7.5m 土层的剪切波速 vs=520m/s500m/s，所以由： d=7.5m； 4 结构地震作用及响应 （ 2）计算土层等效剪切波速 vse： 按公式（ 4-1）有：se 1 . 5 2 . 0 4 . 07 . 5 / ( ) 2 5 3 . 61 8 0 2 4 0 3 1 0v 查表 4.2， vse 位于 250500 m/s 之间，且 d5.0m，故该场地属 于 II 类。 4
7、.2.4 抗震设计反应谱 为了便于计算，我国抗震规范采用地震影响系数 与体系自振周期 T 之间的关系作为设计反应谱。地震影响系数 即相对于重力加速度 g 的单质点绝对最大加速度 反应 ，按下式计算： ga a m a xg m a x()( ) ( )( ) ( )gg()xtS T S TT T kxt （ 4.2） 式中： a()ST 单质点最大绝对加速度； g max()xt 地面运动的最大峰值加速度； k 地震系数； )(T 动力系数； 下面讨论地震系数和动力系数的确定。 1） 地震系数 k 地震系数为地面运动最大加速度 反应 与重力加速度的比值，其定义为： g max()gxtk （
8、 4.3） 通过地震系数可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。一般，地面运动加速度峰值越大，地震烈度越大，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。根 据统计分析，烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。表 4.4 是我国抗震规范采用的地震系数与基本烈度的对应关系。 表 4.4 地震系数 k 与基本烈度关系 基本烈度 6 度 7 度 8 度 9 度 地震系数 k 0.05 0.10（ 0.15） 0.20（ 0.30） 0.40 注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度为 0.15g 和 0.30g 的地区。 g 为重力加速度。 2. 动力系数 )(T 动力系数为单质点最大绝对最大加速度反应
9、与地面运动最大加速度的比值，其定义为： ag max()() ()STT xt （ 4.4） 由于我国抗震规范取动力系数的最大值 max =2.25，而 )0( T =1.0，于是有： m a xm a xm a x 45.0)0(, Tk （ 4.5） 于是，我国抗震规范规定的设计反应谱如图 4.1 所示： 4 结构地震作用及响应 m a x45.0 m a x2 m a x2 TT g m a x12 52.0 gTT 0 0 . 1 6 . 0 T g 5 T g T (s) 图 4.1 地震影响系数谱曲线 图 4.1 中 T 体系自振周期（ s）； Tg 特征周期，按表 4.5 确定；
10、 地震影响系数； max 地震影响系数最大值；按表 4.6 确定； 结构体系的阻尼比； 地震影响系数谱曲线下降段的衰减指数，按式（ 4.6）确定； 63.0 05.09.0 （ 4.6） 1 地震影响系数谱直线下降斜率调整系数数，按式（ 4.7）确定，小于 0 时取 0； 324 )05.0(02.01 （ 4.7） 2 阻尼调整系数，按式（ 4.8）确定，且当小于 0.55 时，应取 0.55； 6.108.0 05.012 （ 4.8） 表 4.5 特征周期值 Tg（ s） 设计地震分组 场 地 类 别 I0 I1 II III IV 第一组 0.20 0.25 0.35 0.45 0.6
11、5 第二组 0.25 0.30 0.40 0.55 0.75 第三组 0.30 0.35 0.45 0.65 0.90 表 4.6 水平地震影响系数最大值 max 地震影响 设防烈度 6 度 7 度 8 度 9 度 多遇地震 0.04 0.08（ 0.12） 0.16（ 0.24） 0.32 罕遇地震 0.28 0.50（ 0.72） 0.90（ 1.20） 1.40 注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取 0.15g 和 0.30g 的地区。 4 结构地震作用及响应 4.3 结构地震反应分析方法 在实际的建筑结构抗震设计中，除了少数结构（如单层厂房、水塔等）可以简化为单自由度体系外， 大
12、量的建筑结构都应简化为多自由度体系 。 在单向水平地震作用下，其地震反应分析方法由振型分解反应谱法、底部剪力法、动力时程分析方法以及非线性静力分析等方法。下面逐一介绍。 4.3.1 单自由度弹性体系的地震作用 由地震设计反应谱可方便地计算单 自由 度弹性体系的地震作用如下： a ( ) ( )F m S T G T （ 4.9） 式中， G 集中于质点处的重力 荷载代表值。 结构的重力荷载分恒载（自重）和活载（可变荷载）两种。活载的变异性较大，我国建筑结构荷载规范（ GB50009-2012）规定的活载标准值是按 50 年最大活载的平均值加 0.5 1.5 倍的均方差确定，地震发生时，活载不一
13、定达到标准值的水平，一般小于标准值，因此计算重力荷载代表值时可对活载折减。抗震规范规定： E k kiiG G Q （ 4.10） 式中： EG 重力荷载代表值； kG 结构恒载标准值； kiQ 有关活载（可变荷载）标准值； i 有关活载组合值系数，按表 4.7 采用。 表 4.7 组合值系数 i 可变荷载种类 组合值系数 雪荷载 0.5 屋顶积灰荷载 0.5 屋面活荷载 不计入 按实际情况考虑的楼面活荷载 1.0 按等效均布荷载考虑的楼面活荷载 藏书库、档案库 0.8 其他民用建筑 0.5 吊车悬吊物重力 硬钩吊车 0.3 软钩吊车 不计入 4.3.2 振型分解反应谱法 振型分解反应谱法基本
14、概念 是：假定结构为 多自由度线弹性体系，利用振型分解和振型的正交性原理，将 n 个自由度弹性体系分解为 n 个等效单自由度弹性体系，利用设计反应谱得到每个振型下等效单自由度弹性体系的效应（弯矩、剪力、轴力和变形等），再按一定 的法则将每个振型的作用效应组合成总的地震效应进行截面抗震验算。 1） 多自由度弹性体系的运动方程 4 结构地震作用及响应 多自由度弹性体系在水平地震作用下的变形如图 4.3 所示，根据达朗贝尔原理，作用在 i 质点的惯性力、阻尼力和弹性恢复力应保持平衡，于是有： g 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 0nni i i k k i k kkkm x t x t C x
15、 t K x t （ 4.11） 式中 Kik 质点 k 处产生单位位移，而其他质点保持不变，在质点 i 处产生的弹性恢复力； Cik质点 k 处产生单位速度，而其他质点保持不变，在质点 i 处产生的阻尼力； )()()( txtxtxi 、 分别为质点 i 在 t 时刻相对于基础的加速度、速度和位移； mi 集中在质点 i 上的集中质量； g()xtt 时刻地面运动加速度值。 图 4.2 多自由度弹性体系变形 对于一个 n 质点的弹性体系，可以写出 n 个类似于式（ 4.11）的方程，将组成一个由 n 个方程组成的微分方程组，其矩阵形式为： g ( ) ( ) ( ) ( )M x t C
16、x t K x t M I x t （ 4.12） 式中 )( tx 、 )(tx 、 )(tx 分别为体系各质点在 t 时刻相对于基础的加速度、速度、位移列向量； M体系质量矩阵； nmmmM0021 （ 4.13） K体系刚度矩阵； nnnininiiiniKKKKKKKKKM111111 （ 4.14） C阻尼矩阵，一般采用瑞雷阻尼 ，即采取质量矩阵与刚度矩阵的线性组合； 4 结构地震作用及响应 KMC （ 4.15） 其中 、 为两个比例常数，按下式计算： 2122 11222122 122121 22 ）（，）（ （ 4.16） 式中 21 、 分别为 多自由度弹性体系第一、二振型的
17、自振圆频率， 21 、 分别为 体系第一 、二振型的阻尼比。 2） 多自由度弹性体系的自由振动 用振型分解反应谱法计算多自由度弹性体系的水平地震作用 效应 时，首先需要知道各个振型及其对应的自振周期，这需求解体系的自由振动方程而得到。将式（ 4.12）中的阻尼项及右端地震动输入项略去，即得到无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程： 0)()( txKtxM （ 4.17） 根据该方程的特点，设该方程的解为： )sin ()( tXtx （ 4.18） 于是有： )()s i n ()( 22 txtXtx （ 4.19） 式中 X体系的振动幅值向量，即体系的振型； 初始相位角。 将式（ 4.18
18、）和（ 4.19）代入式（ 4.17），得： 0)( 2 XMK （ 4.20） X为体系的振动幅值向量，其元素不可能 全部为零，否则体系就不振动。因此要得到 X的非零解，即体系发生振动的解，则必有： 0 2 MK （ 4.21） 式 （ 4.21） 也称为多自由度弹性体系的动力特征值方程（或体系的频率方程）。方程展开后是一个以 2 为未知量的一元 n 次方程，可以求出这个方程的 n 个根（特征值），即可得到体系的 n个自振频率。将得到的自振频率依次回代到方程（ 4.20）即可求出体系的振型。 3） 振型的正 交性 多自由度弹性体系作自由振动时，各振型对应的频率各不相同，任意两个不同的振型之间
19、存在正交性。利用振型的正交性原理可以大大简化多自由度弹性体系运动微分方程组的求解。 （ 1）振型关于质量矩阵的正交性 其矩阵表达式为： )(,0 kjXMXkTj （ 4.22） 振型关于质量矩阵的正交性的物理意义是：某一振型在振动过程中引起的惯性力不在其它振型4 结构地震作用及响应 上作功，这说明某一振型的动能不会转移到振型上去，也就是体系按某一振型自由振动不会激起其它振 型的振动； （ 2） 振型关于刚度矩阵的正交性 其矩阵表达式为： )(,0 kjXKXkTj （ 4.23） 振型关于刚度矩阵的正交性的物理意义是：体系按某一振型振动引起的弹性恢复力不在其它振型上作功，也就是体系按某一振型
20、振动时，它的位能（势能）不会转移到振型上去。 （ 3）振型关于阻尼矩阵的正交性 由于阻尼矩阵一般采用质量矩阵与刚度矩阵的线性组合，运用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正交的，即： )(,0 kjXCXkTj （ 4.24） 4） 振型分解 由结构动力学知道，一个 n 个自由度的弹性体系具有 n 个独立的振型，将每个振型汇集在一起就形成振型矩阵为： nnnininiiininixxxxxxxxxXXXA1111111 ,.,., （ 4.25） 式中 xji 为对应于 j 振型的质点 i 的相对位移值。 由振型的正交性原理可知，振型 ni XXX ,.,., 1 相互
21、独立，根据线性代数理论， n 维向量)(tx 总可以表示为 n 个独立向量的线性组合，则体系地震位移反应向量 )(tx 可表示为： )()( 1 tqXtx nj jjii (4.26) 式中 )(tqj为 j 振型的广义（正则）坐标，它是以振型作为坐标系的位移值，也是时间的函数。于是整个体系的位移、速度和加速度的列向量可分别表示为： )()()(,)()()(111qAtqtqtqXXXtxtxtxxninini （ 4.27） x A q ， x A q （ 4.28） 将式（ 4.27）和（ 4.28）代入式（ 4.12），并对方程式两端左乘 AT 得广义坐标下运动方程为： 4 结构地震
22、作用及响应 )( txIMAqAKAqACAqAMA gTTTT （ 4.29） 运用振型关于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵的正交性原理，对上式进行化简，展开后可得到n 个独立的二阶微分方程，对于第 j 振型可写为： )()()( tqXKXtqXCXtqXMX jjTjjjTjjjTj )( txIMX gTj （ 4.30） 这里引入广义质量、广义刚度和广义阻尼为： jTjj XMXM * （ 4.31a） *2* jjjTjj MXKXK （ 4.31b） * 2 jjjTjj MXCXC （ 4.31c） 于是式（ 4.30）可写为： )()()()( * txIMXtqKtqCtqM
23、gTjjjjjjj （ 4.32） 同时用 j 振型广义质量除等式两端，得： )()()(2)( 2 txtqtqtq gjjjjjj （ j 1,2,.n） （ 4.33） 式中 j为 j 振型的振型参与系数，按式 （ 4.34） 计算： nijiinijiijTjTjj xmxmXMXIMX121 （ 4.34） 由此可见，式（ 4.33）完全相当于一个单自由度弹性体系的运动方程，求解（ 4.33）得 ()g01( ) ( ) s i n ( ) ( )jjt tj j j j jjq t x e t d t （ 4.35） 式中， )(tj为单自由度体系（jj ,）的位移，即杜哈梅积分，
24、按下式计算： ()g01( ) ( ) s in ( )jjt tjjjt x e t d （ 4.36） 于是根据式（ 4.26）有： nj jijjnj jjii xttqXtx 11 )()()( （ 4.37a） nj jijjnj jjii xttqxtx 11 )()()( （ 4.37b） 5多自由度弹性体系的地震作用及效应组合 4 结构地震作用及响应 由结构动力学可知： 11 nj jijx （ 4.38） 由式（ 4.37b）可知， t 时刻 i 质点的水平地震作用为： nj jijginj jijjigiiii xtxmxtmtxmtxmtF 11 )()()()()( )
25、()(1 txtxm gjnj jiji （ 4.39） 对应于 j 振型 t 时刻 i 质点的水平地震作用 可以表示为： )()()( txtxmtF gjjijiji （ 4.40） 对应于 j 振型 i 质点的水平地震作用 Fji 最大值为： m a x)()( txtxmF gjjijiji （ 4.41） 式中的max)()( txt gj 为阻尼比、自振频率分别为jj 、的单自由度弹性体系的最大绝对加速度，可通过反应谱确定。于是式（ 4.41）可写为： a ( , )j i i j j i j j i j j i jF m x S G x （ 4.42） 式中： Gi质点 i 的重
26、力荷载代表值； jixj 振型 i 质点的水平相对位移，即振型位移； jj 振型的振型参与系数，按式（ 4.34）计算； j对应于第 j 振型自振周期 Tj 的地震影响系数，按图 4.1 采用。 式 （ 4.42） 即为我国抗震规范 给出的振型分解反应谱法的水平地震作用标准值的计算公式 。 由振型 j 各质点水平地震作用 ，按静力分析方法计算，可得体系振型 j 最大地震反应。记体系振型 j 水平地震作用下结构最大地震反应（即振型地震作用效应，如构件内力、楼层位移等）为 jS ，而该体系总的最大地震反应为 S ，则可通过各振型反应 jS 估计 S ，此称为振型组合。 由于各振型作用效应的最大值并
27、部出现 在同一时刻 ，因此直接由各振型最大反应叠加估计体系最大反应，结果显然偏大，过于保守。通过随机振动理论分析，得出采用平方和开方的方法（ SRSS法）估计平面结构体系最大反应可获得较好的结果，即 kj jSS 1 2 （ 4.43） 式中： k振型反应的组合数。一般情况下，可取结构的前 23 阶振型（即 k=23），但不多于结构的自由度数（即 k n）；当结构基本周期大于 1.5 秒或建筑高宽比大于 5 时，应适当增加振型的组合数。 4 结构地震作用及响应 【例 4.2】 结构计算简图如图 4.3 所示，结构处于 8 度区（地震加速度为 0.20g）， I1 类场地，设计地震分组为第一组，
28、阻尼比为 0.05。已知结构自振周期 T1、 T2 和 T3 分别为 0.433、 0.202 和 0.136。振型如下： 1648.0301.0131211XXX ， 1601.0676.0232221XXX ， 157.247.2333231XXX 试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。 图 4.3 结构计算简图 【解】由niinijiijjiXmXm121 ，得： 395.10.112648.020301.020 0.112648.020301.020 2221 477.00.112)601.0(20)676.0(20 0.112)601.0(20)67
29、6.0(20 2222 0376.00.112)57.2(2047.220 0.112)57.2(2047.220 2223 查表得 g 0.25sT ， 16.0max ，则 0976.016.0433.0 25.0 9.0m a x9.011 TT g ， 16.0m a x32 由 jjijiji XGF 得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为： kN196.80976.0301.0395.1102011 F kN645.170976.0648.0395.1102012 F kN338.160976.00.1395.1101213 F 同理，第 2、 3 振型各质点水平地震作用分别为
30、： F21=10.318kN, F22=9.174kN, F23=-9.158kN m3=12t m2=20t m1=20t k1=18000kN/m k2=18000kN/m k3=10000kN/m 4 结构地震作用及响应 F31=2.972kN, F32=-3.100kN, F33=0.722kN 则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为： S1=V11=F11+F12+F13=42.179kN S2=V21=F21+F22+F23=10.334kN S3=V31=F31+F32+F33=0.594kN 通过振型组合求结构的最大底部剪力为： 2 2 2 211 4 2 . 1 7 9 1
31、0 . 3 3 4 0 . 5 9 4 4 3 . 4 3 0 k NjVV 若仅取前两阶振型反应进行组合时，结构的最大底部剪力为： 221 4 2 . 1 7 9 1 0 . 3 3 4 4 3 . 4 2 6 k NV 由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为： 1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3131 2 3F F F F F FU k k k 4 2 . 1 7 9 1 7 . 6 4 5 1 6 . 3 3 8 1 6 . 3 3 8 5 . 8 6 5 m m1 8 0 0 0 1 8 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3231
32、 2 3F F F F F FU k k k 1 0 . 3 3 4 9 . 1 7 4 ( 9 . 1 5 8 ) - 9 . 1 5 8 0 . 1 8 8 m m1 8 0 0 0 1 8 0 0 0 1 2 0 0 0 3 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3331 2 3F F F F F FU k k k 0 . 5 9 4 ( 3 . 1 0 0 ) 0 . 7 2 2 0 . 7 2 2 0 . 0 3 9 m m1 8 0 0 0 1 8 0 0 0 1 2 0 0 0 通过振型组合求结构的最大顶点位移为： 2 2 2 233 5 . 8 6 5 ( 0 . 1 8 8
33、 ) ( 0 . 0 3 9 ) 5 . 5 8 9 m mjUU 若仅取前两阶振型反应进行组合时，结构的最大顶点位移为： mm588.5)188.0(865.5U 223 4.3.3 底部剪力法 用振型分解反应谱法计算多自由度结构体系的地震反应时，需要计算体系的前几阶振型和自振频率，对于建筑层数较多时，用手算就显得较繁琐。理论分析研究表明：当建筑物高度不超过 40米、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀、结构振动以第一振型为主且第一振型接近直 线（如图 4.4）时，该类结构的地震反应可采用底部剪力法。 4 结构地震作用及响应 iHix 图 4.4 简化的第一振型 1）底部剪力的计算
34、由振型分解反应谱法可知，结构 j 振型底部剪力为： ni jjijini jjijini jjijini jij xGGGxGGGxGFV 1 111 11110 （ 4.44） 式中 G 结构的总重力总荷载代表值， ni iGG 1； 1 对应于结构基本自振周期的水平地震影响系数。 根据振型分解反应谱法效应组合原则可知，结构 总的底部剪力 FEK 可由 n 个振型平方和开方方法得到，即： 22E k 1 111 1()nn j ij o j j ijj GF V G x G qG （ 4.45） 式中 q 为高振型影响系数（或）。经过大量计算结果统计分析表明，当结构体系各质点重量和层高大致相
35、同时，有： )12(2 )1(3 nnq （ 4.46） 对于单自由度弹性体系， q=1；对于多自由度弹性体系， q=0.750.90，抗震规范取 0.85。于是抗震规范计算底部剪力的公式表 示为： Ek 1 eqFG （ 4.47） 式中 Geq结构等效总重力总荷载代表值，单自由度弹性体系取总重力总荷载代表值，多自由度弹性体系取总重力总荷载代表值的 85%。 2）水平地震作用分布 根据底部剪力法的适用条件可知：结构振动以第一振型为主且第一振型接近直线，即任意质点的第一振型位移与其所处的高度成正比，即有： ii CHx 1 （ 4.48） 则作用于各质点的水平地震作用为： 4 结构地震作用及响
36、应 iiiiii HCGxGFF 111111 （ 4.49） 结构底部剪力可表示为： E k 1 1 1 11 1 1n n nk k k k kk k kF F C G H C G H （ 4.50） 用式（ 4.49）除以式（ 4.50），整理得各质点的水平地震作用： Ek1iii nkkkGHFFGH （ 4.51） 3） 顶部附加地震作用计算 通过大量的 计算分析发现，当结构层数较多时，用底部剪力法式 （ 4.51） 计算的在结构上部质点的地震作用往往小于振型分解反应谱法的计算结果。原因在于底部剪力法仅考虑了第一振型的影响。当结构基本周期较长时，结构的高阶振型地震作用影响将不能忽略。
37、而且高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大，为此我国抗震规范采用在结构顶部附加集中水平地震作用的方法考虑高阶振型的影响。 表 4.8 顶部附加地震作用系数 Tg (s) T1 1.4Tg T1 1.4Tg Tg 0.35 0.08T1+0.07 0.0 0.351.4Tg=0.35s。需考虑结构顶部附加集中作用。查表 4.8 得： 105.007.0433.008.007.008.0 1 Tn 于是，结构顶部附加如下集中水平地震作用为： Ek 0 . 1 0 5 4 3 . 1 3 9 4 . 5 3 0 k NnnFF 又已知 H1=5m， H2=9m， H3=13m，于是有： mkN43
38、600.10)1312920520(1 nj jj HG 则作用在结构各楼层上的水平地震作用为 111 E k1(1 )nnjjjGHFFGH kN855.8139.43)105.01(4360 0.10520 2 2 0 9 1 0 . 0 ( 1 0 . 1 0 5 ) 4 3 . 1 3 9 1 5 . 9 4 0k N4360F 3 1 2 1 3 1 0 . 0 ( 1 0 . 1 0 5 ) 4 3 . 1 3 9 1 3 . 8 1 4k N4360F 由此得结构的顶点位移为： 2 3 3Ek31 2 3nnF F F F FFU k k k 4 3 . 1 3 9 1 5 .
39、9 4 0 1 3 . 8 1 4 4 . 5 3 0 1 3 . 8 1 4 4 . 5 3 0 5 . 8 3 0 m m1 8 0 0 0 1 8 0 0 0 1 2 0 0 0 4.3.4 动力时程分析方法 动力时程（时 间历程的简称）分析方法，是将结构作为弹性或弹塑性振动系统，建立振动系统的运动微分方程，直接输入地面加速度时程，对运动微分方程直接积分，从而获得振动体系各质点的加速度、速度、位移和结构内力的时程曲线。时程分析方法是完全动力方法，可以得出地震时程范围内结构体系各点的反应时间历程，信息量 大、 精度高。但计算 工作 量大，且根据确定的地震动时程得出结构体系的确定反应时程，一
40、次时程分析难以考虑不同地震动时程记录的随机性。 时程分析分法分为振型分解法和逐步积分方法两种。振型分解法利用了结构体系振型的正交性则 但仅 适用于结构弹性 地震反应分析。而逐步积分方法则既适用于结构弹性地震反应分析，也可适4 结构地震作用及响应 用于结构非弹性地震反应分析。 结构时程分析时，需要解决以下几个问题： 结构力学模型的确定； 结构或构件的滞回模型； 输入地震波的选择； 数值求解方法的确定。 前面章节对振型分解法进行了讲解，本节主要介绍逐步积分时程分析方法。 1） 结构的力学模型 结构的力学模型是反映结构受力性能和构造特点的计算简图。力学模型不但要便于弹性分析，也要能分析结构超过弹性阶
41、段后进入弹塑性阶段和塑性阶段时的工作状况。同时还要能抓住结构主要特点并适当简化以减 少 计算工作量。 结构动力时程分析模型可以分为材料层次的实体分析模型和构件（或结构）层次的简化分析模型。材料层次以结构中各材料的应力 -应变关系曲线为基础，而构件（或结构）层次的简化分析模型以构件（或结构）的力 -变形关系曲线为基础。 （ a） 层模型 （ b） 杆模型 图 4.5 结构力学模型示意图 构件（或结构）层次的简化分析模型常用的有层模型和杆模型两种。 如图 4.5（ a）所示 层模型假定结构质量集中于各楼面和屋面处，且计算中仅考虑 层间变形。层模型的未知位移少、计算简单。层模型适用于砌体结构和强梁弱
42、柱型框架结构。杆模型（ 见 图 4.5（ b） ）以杆件为基本计算单元，自由度较层模型多，能够较细致地全面地考虑各个杆件逐个进入塑性阶段的过程及对结构的影响，计算结果比较精确。杆模型适用于强柱弱梁型 框架 结构，也可适用于框架 -剪力墙结构，但与剪力墙相连的连梁应采用带刚域的杆件。 2） 结构或构件的滞回模型 （ a） 受弯构件 （ b） 压弯构件 （ c） 剪力墙 图 4.6 典型钢筋混凝 土构件的滞回曲线 4 结构地震作用及响应 （ a） 悬臂梁 （ b） 独立柱 （ c） 支撑 图 4.7 典型钢构件的滞回曲线 结构或构件在反复荷载作用下力与变形间的关系曲线称为滞回曲线。滞回曲线体现了结
43、构或构件在地震作用下的弹性和非弹性性能。通过 低周 反复加载试验可得到不同材料构件不同受力特点的滞回曲线。图 4.6 是几种典型的钢筋混凝土构件的滞回曲线，图 4.7 是几种典型的钢构件滞回曲线。 为了便于计算，将滞回曲线简化可以用数学表达式描述的曲线形式。描述结构或构件滞回 曲线关系的数学模型称为滞回模型。目前应用较广且计算简单的滞回模型为双线型模型和退化的三线性模型。 双线型模型如图 4.8 所示，它是将正向和反向加载的骨架曲线用带屈服点的两折线表示，卸载刚度不退化，反向再加载线的拐点（即 3， 6 点）按照使结构耗能相等（即折线面积与试验曲线所围面积相等）的条件来确定。双线型模型参数 主
44、要 有弹性刚度 k0、弹塑性刚度 kp、屈曲强度 Py 和极限强度 Pu。当弹塑性刚度 kp 取为零时，则双线性模型退化为理想弹塑性模型。双线性模型主要适用于钢结构构件，也可近似地反映钢筋混凝土构件的试验结果。 退化三 线型模型如图 4.9 所示，是将正向和反向加载的骨架曲线用带开裂点和屈服点的三折线表示，卸载刚度不退化，而再加载线的刚度则考虑退化。退化三线型型模型参数 主要 有弹性刚度 k0、开裂刚度 kc、弹塑性刚度 kp（常取为 0）、开裂强度 Pc、屈曲强度 Py 和极限强度 Pu（常 取 Py=Pu）。退化三线型模型主要适用于钢筋混凝土构件。 滞回模型参数可能通过试验或理论分析确定。
45、 图 4.8 双线型模型 图 4.9 退化三线型模型 3） 数值求解方法的确定 4 结构地震作用及响应 结构体系的运动方程为 ： g ( ) ( ) ( ) 1 ( )M x t C x t K x t M x t （ 4.54） 当结构体系位于弹性状态时，刚度矩阵 K为常量；当结构进入弹塑性状态后，刚度矩阵 K为不再是一个常量，而是一个随时间变化的量。不失一般性，将 ( )K xt 记作 ( ) ( )K t x t 。动力方程采用增量形式表示为： g ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )M x t C x t K t x t M x t （ 4.55） 将地震作用时间持续时间划分为微
46、小时段 t （通常称为时间步长），通过上述可计算每一步的的位移增量，与前一步的位移反应叠加可得当前步的位移反应，将其作为后一步的初始值，依此类似可得出全部时程的反应值，称之为逐步积分方法。 对增量动力方程解有不同的求解方法，如线性加速度法、平均加速度法、纽马克 法（ Newmark- ）、威尔逊 法（ Wilson- ）等。下面以线性加速法为例进行说明。 线性加速法给出如下假定：当某一步开始时的位移、速度和加速度已经算出，为了计算 t 以后的反应值，认为在 t 范围内加速度按直线规律变化。则位移对时间的三阶导数为常数，三阶以上导数为零。即： ( ( ) ( ) ) ( ) x t t x t
47、t xx t t tt （ 4.56） 结构的位移和加速度分别按泰勒（ Taylor）级数展开 为： 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ! 3 !ttx t t x t x t t x t x t （ 4.57） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2!tx t t x t x t t x t （ 4.58） 将式（ 4.57）代入（ 4.58），并利用到： ( ) ( ) x t t x t x ， ( ) ( ) x t t x t x （ 4.59） 于是有： 3 3 ( ) ( ) 2 tx x x t x tt （ 4.60） 将（ 4.56）代入（ 4.57）有：
48、266 ( ) 3 ( ) x x x t x ttt （ 4.61） 将（ 4.60）和（ 4.61）代入增量方程（ 4.55）有： * ( ) ( )K t x F t （ 4.62） 式中： * 263 ( ) ( ) K t K t M Ctt （ 4.63） 4 结构地震作用及响应 * g 6 ( ) 1 ( ( ) 3 ( ) ) ( 3 ( ) ( ) )2 tF t M x M x t x t C x t x tt （ 4.64） 由于步长 t 已经选定，某一步开始时的速度和加速度已经算出，则根据式（ 4.62）可以计算位移增量 x ，则可得出各时刻的地震反应。 4.3.5 静
49、力弹塑性分析方法 由于时程分析法能够计算地震反应全过程中各时刻结构的内力和变形状态，给出结构的开裂和屈服的顺序，发现应力和塑性变形集中的部位，从而判明结构的屈服机制、薄弱环节及可能的破坏类型。因此被认为是结构 弹塑性分析的最可靠方法。目前，对一些特殊的、复杂的重要结构愈来愈多的利用时程分析法进行计算分析，许多国家已将其纳入规范。但是，时程分析法分析技术复杂、计算耗费机时，计算工作量大、结果处理繁杂，且许多问题在理论上还有待改进（如输入地震动及构件恢复力模型的不确定性等），各规范有关时程分析法的规定又缺乏可操作性，因此在实际工程抗震设计中该方法并没有得到广泛的应用，通常仅限于理论研究中。鉴于上述
50、背景，寻求一种简化的评估方法，能在某种近似程度上反映结构在强震作用下的弹塑性性能，这将具有一定的应用价值。 静力弹塑性分析 方法（ Static Pushover Analysis,以下简称 POA） 作为一种结构非线性响应的简化计算方法，近年来引起了广大学者和工程设计人员的关注。 POA 方法是一种静力非线性方法，它比较符合基于结构性能（或位移）的抗震设计概念。 POA 方法的目标是获得弹性反应谱法或动力分析法所不能得到的某些结构响应特征，即获得在可能遭遇的地震作用下结构构件的内力、结构整体或局部变形等。 POA 方法的主要用途为；估计重要单元的变形能力，暴露设计中潜在的薄弱环节（如强度、刚
