1、第 7 讲 数学与物理的奇妙融合 对称与守恒 第 1 节 对称性与守恒律 1.1 对称与群 人们很早就注意到我们生活的这个世界充满了对称性，并对之加以探究，早在古希腊、古罗马以及古代中国，都有关于对称概念的研究记载 简单来说 ， 对称性 就是 “ 变中 有 不变 ” ，即在某种变换下保持不变的性质 1872 年，德国数学家克莱因 （ F.C.Klein， 1849-1925） 在 埃尔朗根大学的就职演说中提出 了著名 “ 埃尔朗根纲领 ” ， 将 19 世纪及之前的几何 学概括为 “ 研究在某种变换群下保持不变 性质 和不变量 的学科 ”例如， 欧氏几何研究的是在刚体变换下保持不变 性质 的几
2、何学 ，其变换群是正交矩阵群；仿射几何研究的是在仿射变换下保持不变 性质 的几何学 ，其变换群是一般线性群 例 1（平面上的刚体变换） 平面上 的一点 (, )xy 经过平移和旋转的刚体变换到另一点 ( , )xy， 则有如下的对应关系 00 c os si n si n c os xxx yyy =+ 例 2（平面上的仿射 变换 ） 平面上 的一点 (, )xy 经过仿射变换到另一点 ( , )xy，则有如下的对应关系 011 12 11 12021 22 21 22 ,0 xa a a axx ya a a ayy = + 研究对称性最重要的数学工具就是群论 抽象代数的一个重要分支 ，群的
3、概念 在第 2 讲中已有详细介绍群的 发 明 来源 于法国数学家伽罗瓦 （ . Galois，1811-1832） 对 一元 n( 5)n 次 代数 方程是否可 以 根式求解 问题 的研究 早 在 古巴比伦 时期，一元一次和二次方程求根 问题 就已经解决 ， 并有一元 二次方程的求根公式 16 世纪 意大利 的 数学家 给出了 一元三次方程 和四次方程 的求根公式 ，但是 ， 此后 人们在长达 300 多年内寻求高于四次方程的 求根 公式 均以 失败 告终 至19 世纪上半叶，“求 代数 方程的根”一直是古典代数学的中心问题 ， 直到 伽罗瓦证明了：一元 n 次 代数 方程能用根式 求解 的一
4、个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群 作为这个结果的一个推论是：对应于一般形式的 n 次代数方程的伽罗瓦群，只有当 1， 2， 3， 4 时才是可解群 因此，五次及五次以上代数方程不存在求根 公式 所谓 伽罗瓦群是指 由方程的根的置换群中保持方程根的以“基本域”中的元素为系数的全部代数关系不变的置换构成的子群 可解 群 可 作如下简单解释：由群中元素 的 换位子 11 , a b aba b= 全体生成的子群，即换位子群 ， 而 换位子 群的换位子全体又 可以 生 成一个新的 子 群 ，若经过有限次成为 只 含 幺元 的幺群，则 此群称为 可解 群 图 1. 伽罗华 1.2 对称性与守恒律
5、 物理系统中常见的对称性有时间平移对称性、空间平移对称性和空间旋转对称性 等 ；物理系统 常见的守恒律有能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等， 对称性与守恒 律有着千丝万缕的联系 德国著名女数学家艾米 诺特是抽象代数的开创者，她被爱因斯坦赞誉为“最伟大的女数学家”艾米 诺特是从数学及物理上阐明了对称性与守恒律的联系的第一人，她 在 1918 年发表的题为变分问题的不变量的论文中提出了著名的“诺特定理” ：物理系统 的每一个连续的对称变换，都对应于一个守恒定律 1926 年， 美国 物理学家 维格纳（ E.P.Wigner,1902-1995） 还 提出了宇称守恒定律，想把对称 性 和守
6、恒 律的关系进一步推广到微观世界 所 谓“宇称”，是指一种粒子之间互为镜像，粒子的运动是相同的但 在 1956 年，美籍华裔物理学家李政道 （ 1926-） 和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，提出“在弱相互作用下宇称不是守恒的”，美籍华裔实验物理学家吴健雄 （ 1912-1997） 则通过一个巧妙的钴 60 衰变实验验证了“宇称不守恒”李政道和杨振宁因此获得1957 年的诺贝尔物理学奖，成为首次获得该奖项的华裔科学家 图 2. 诺特与代数学 例 3（开普勒第二定律与角动量守恒） 在第 8 讲中的 开普勒 行星第二运动 定律 （即 面积律 ），本质上反映了太阳 -行星系统的 角动量守恒 事
7、实上， 由面积律 ， 我们知 道 212rA （常数），而行星运动时的线速度0 ( ) ( )limt r t t r tv t + = ，则 角动量的大小为 2 200() ( ) ( ) l im l imttrtr r t t r tr v rtt + = = = 诺特定理直观的理解就是：每一种对称性都对应一个守恒律例如， 时间平移对称性对应能量守恒定律； 空间平移对称性对应动量守恒定律；空间旋转对称性 对应 角动量守恒定律这个定理培育出了物理学家的一种思维习 惯：只要发现一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒律；反之，只要发现了一条守恒律，也总要把相应对称性找出来，下面是一个对称性与守恒
8、定律及使用范围的关系表 对称 性 守恒定律 使用范围 时间平移 能 量 守恒 完全 空间平移 动量守恒 完全 空间旋转 角动量守恒 完全 镜像反射 宇称守恒 弱作用中破缺 电荷规范变换 电荷守恒 完全 重子规范变换 重子数守恒 完全 轻子规范变换 轻子数守恒 完全 时间反演 / 破缺 1.3 自发 对称破缺 自然规律的确具有某种对称性， 对称使得万物和谐、均衡，但对称中 也潜藏着不对称，对称中的不对称使得事物变得 生机、灵动 五彩缤纷的大自然中，无处不有对称与不对称，物理学也是如此 物理规律的某种对称性表现在真实世界的具体现象时，却不是对称的，这一看起来似乎很简单的现象，却曾经使得科学家困惑多
9、年 “自发对称破缺”的理论给予了解释 “自发对称破缺” 作为专业术语，常常被人们用一个简单的例子解读，例如，一支铅笔竖直立在桌子上，按照物理定律，铅笔所受的力在四面八方都是对称的，及满足旋转对称性，因此铅笔向任何一个方向倒下的概率都应该相等但是，铅笔最终只会倒向一个方向，倒下之后，铅笔 原有的对称性就被破坏掉，而这种破坏是铅笔自身发生的， 因此被称为 “自发对称破缺” 20 世纪 60 年代中期，科学家们通过对数学物理理论的研究，预言了一种名为希格斯粒子的基本粒子， 这与上述的 “自发对称破缺” 这一术语相关 2012年，希格斯粒子被欧洲核子中心发现，与此相关的研究获得了 2013 年的诺贝尔
10、物理学奖 事实上， 物理学家 经过多年的 研究， 提出了关于物质世界的组成的“标准模型”，在这个 “标准模型” 中，物质的本源来自四种基本力：引力、电磁力、弱力和强力，以及 61 种基本粒子，其中包括 36 种夸克， 12 种轻子， 8 中胶子，2 种 W 粒子，另外还有 Z 粒子、光子以及希格斯粒子 希格斯粒子是“标准模型”中最后被发现的粒子，被称为“上帝粒子”“标准模型” 成功地统一了除了引力以外的三种力，并且基本精确地解释了与三种力有关的所有实验事实物理学家用 “自发对称破缺” 的概念来研究基本粒子和场，认为它们遵循某种“规范对称性”， 希格斯粒子的发现证明了“标准模型”基本正确 在微观
11、世界里，基本粒子有三种基本的对称方式： （ 1） 电荷（ C）对称（共轭对称）：对于粒子和反粒子，物理定律是相同 的 （ 2）宇称（ P）对称（空间反射对称）：互为镜像的同一种粒子的 运动规律相同 （ 3）时间（ T）对称（时间反演对称）：如果颠倒粒子的运动方向，则粒子的运动是相同的 高能物理实验告诉我们，对于粒子世界的物理规律，以上 3 种对称性全部破缺，世界从本质上被证明了是不完美的、有缺陷的 因此，可以认为 我们这个五彩缤纷的物质世界，包括人类自身，都是对称性的细微破缺留下的遗迹 第 2节 最小作用量原理 2.1 拉格朗日函数 我们描述系统中的 N 个点的位置信息需要 3N 个坐标，当增
12、加约束时，这个系统的自由度便会降低所谓自由度，指的是能够完全描述某一物理系统状态的相互独立的最少变量个数，当增加某 些约束时，会使其中某些变量不再相互独立，导致自由度降低为了研究问题方便，我们要引进广义坐标系统 s 个自由度的系统可以用 s 个独立变量 1,sqq和变量的变化率 1,sqq以及时间 t 的函数 ( ) ( )11, , , , , , , ,ssL q q t L q q q q t= 来表示，称之为拉格朗日函数 ， 拉格朗日函数对于时间的积分 ( )21 ,ttS L q q t dt= 即为作用量 最小作用原理 指的 是物理 系统的真实运动轨迹是使作用量达到最小的轨迹 据
13、此 可以推导出 著名的 欧拉 -拉格朗日方程 例 4（费马原理） 光学中的费马原理指的是：光的轨迹总是遵循使光程 BAnds（其中 n 是介质的折射率）取极值的轨迹 根据费马定理，可以推导出光传播的三大规律 光的直线传播定律、反射定律和折射定律，包含了几何光学的主要内容 这其实很有趣：光是没有脑子的，但它走的总是最省时间的路 斯奈尔折射定律的内容是 ：设一道光线 从一点 A 以速度 1v 、 入射角 1 进入较密媒质后以较低速度 2v 、折射角 2 到达点 B，则有 12sin sinvv=. 例 5（最速降线问题） 伽利略在 1630 年提出一个分析学的基本问题 一个质点在重力作用下从一个给
14、定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿什么曲线滑下所需时间最短？ 伽利略错误的认为这曲线是个圆 瑞士数学家约翰 伯努利在 1696 年再次提出这个最速降线问题 ， 次年 （ 1697 年） 已有多位数学家得 到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达 以及雅可比 伯努利与 约翰 伯努利 兄弟 其中，牛 顿、莱布尼兹、洛必达 利用的是微积分的方法，雅可比 伯努利的方法虽然比较繁琐，但其中孕育了变分法的思想， 约翰 伯努利 的方法似乎缺乏根据但十分简明 约翰 伯努利 采用费马最小时间原理，将质点在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，得到最速降线问题中的路径所需满足的微分方程 假设质点
15、沿 从点 A 滑行到点 B 的路径，所需时间最短 从光学的原理得出， sinv =常 数 . 根据能量守恒定律，质点在一定 高处的速度，完全由其到达该高处所损失的势能确定，而与所经过的路径无关，从而，有 2v gy= . 由几何关系，还可以得到 221 1 1sin c o s .se c 1 ta n 1 ( )y = = = = + 将上述三式结合起来，得到 21 ( ) ( ).y y c+= 常 数 这就是最速降线所满足的常微分方程 解此微分方程，可以得到 ( s in ) , (1 c o s ) .x a y a = = 这是 旋轮线 （也称 摆线 ）的标准方程，而 最速降线问题的
16、正确答案 就 是连接两点上凹的唯一一段旋轮线（即倒置的摆线） 1673 年，惠更斯（ C.Huygens， 荷兰，1629 1695）证明了旋轮线是摆线 因为钟摆做一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线又称等时曲线 雅可比 伯努利的方法则接近于现代的变分法思想以变分法的思想， 最速降线问题 应该是一个求泛函极值的问题，其 数学表达如下： ( ) ( )( )( )21211 211m i n m i n 22 xxy x y xyx vJ dx yy x gg + = = 这个数学问题的正确的解答也是倒置的摆线 图 3. 最速降线问题与摆线 作用量 在数学上被称为泛函，即“函数的函数”，而 最小
17、作用原理 从数学角度来说是研究泛函的极值，而要计算泛函的极值，需要运用变分法，变分法可以理解为微分法的推广微分法研究自变量的改变对于函数值的影响，而泛函中是将函数映射为一个实数，可以把这里的函数类比微分中的自变量，本质思想是相同的 变分法是研究泛函的极值方法 1756 年，欧拉在论文中将变分法正式命名为“ the calculus of variation” 1760 年，拉格朗日引入变分的概念，在纯分析的基础上建立变分法。 19 世 纪，数学家们关于极值条件进行了一系列的工作，使 变分法这一分析学分支 得到 了 系统 而全面的 发展。 2.2 最小作用量原理 对于 s 个自由度的系统 ，最小
18、作用量原理表述如下 ( )21 11, , , , , , 0t sstS L q q q q t d t= 为了书写简便，先假设系统仅有一个自有度 ()qt因此 ( )22110 , ,tt LLS L q q t d t q q d tqq = = = + 注意到 dq dqqdt dt =，将第二项分步积分得 221 1 0|ttt tL L d LS q q d tq q d t q = + = 由变分规则可知 ( ) ( )120q t q t=，剩下的积分在 q 取任意值时都为零，这只有在被积函数恒为零时才有可能因此，得到著名的 欧拉 -拉格朗日方程 0d L Ldt q q= 同
19、理，可得 s 个自由度的系统 的 欧 拉 -拉格朗日方程 ( )0 1 , ,iid L L isd t q q = = 2.3 力学系统 首先 考虑 一个自由粒子，其拉格朗日函数为 ( , , )L L r v t= ，由于 在惯性参考系中时间和空间都是均匀的（时间均匀流逝 、 空间的均匀性、各向同性），因 此 （ 1） 由时间 和空间 均匀性 可知其 拉格朗日函数不 显 含时间 t 和位置向量 r ，即为 ()Lv ； （ 2） 由空间的各向同性 可知其 拉格朗日函数不依赖于 速度 v 的方向，只能是速度大小的函数， 因此可取 ( ) ( )22L v L v kv=特别的， 令 12km
20、= 得212L mv= 将 L 的表达式代入欧拉 -拉格朗日方程 0L d L L d Ldt dtr r vr = = 得 ( ) 0d mvdt = ，即加速度 0a= ，此即牛顿第一定律 下面来考虑 n个质点组成的 质点组的拉 格朗日 函数 ，对于 n个自有质点来说， 2 2 211 2 111 1 12 2 2nnin n iiL L L L m v m v m v= + + + = + + = 当质点之间有相互作用时，可以在上述拉格朗日函数中增加位置向量的函数 势能 ( )1,nU r r（表达式根据具体的相互作用来确定），即 ( )2 11 1 ,2n niiiL m v U r
21、r= 将其代入欧拉 -拉格朗日方程 0 , 1 , ,i iL d L indtr r = = 得 ii idv Um dt r= 令 iF 表示其余 1n 个质点对第 i 个质点的合力，则由保守力所做的功等于势能的变化量，得 11nni i iii iUd U F d r d rr= = = ， 最后一项是根据 U 的全微分公式因此iiU Fr=，代入前式得 ( )1, ,iii dvF m i ndt=， 此即牛顿第二定律 那么，拉格朗日力学系统如此精简，我们为什么不 从一开始就 学习拉格朗日力学，而 是学习牛顿经典力学呢？ 这是因为 拉格朗日力学系统虽然精简，但却不容易用直观感受来理解，
22、例如拉格朗日函数的物理意义，欧拉 -拉格朗日方程的物理意义都不容易理解 其次， 因为拉格朗日力学系统中有一些难以通过严格推导 、 也难以用实验直接验证 的地方， 例如在证明牛顿第二运动定律的时候假设拉格朗日函数中表示自由质点之间的互相影响的函数取负号 就很 难用 理论 推导来证明，并且也难以用实验来直接验证，这就不如可以很容易的设计实验来验证 的牛顿经典力学体系 2.4 诺特定理的简单证明 这一段在前面拉格朗日函数以及欧拉 -拉格朗日方程的和基础 上，可以给出诺特定理的一个简单证明 详细的 诺特定理 叙述如下 ： 假设一个力学系统对于某个参数 s 具有对称性 ，即 ，当 s 变化时，系统的拉格
23、朗日函数不变，则对应于参数 s ，系统一定存在一个守恒的物理量 .C 证明：因为 系统的拉格朗日函数 L 是广义坐标和广义速度的函数，假设坐标 x 可以表示为时间 t 及参数 s 的函数 ， L 则可以表示为如下形式 ( , ) ( ( , ) , ( , ) ) .L L x x L x t s x t x= 假设系统对于参数 s 具有对称性，即当 s 变化时， L 不变， 则有 d 0,dLs= 因此 0,L x L xx s x s += 应用欧拉 -拉格朗日方程 d ( ) 0,d LLt x x=可得 d ( ) 0 ,d L x L xt x s x s += 应用分部积分法，化简
24、得 d ( ) 0,d Lxt x s = 这就表明了 ( ).Lx Cxs = 常 数 这样，诺特定理说明了拉格朗日量的每一种对称性都对应一种守恒量，反之，每一个守恒量也对应某种 对称性 物理中的守恒定律是可以被实验观察到的，如此一来，从观察到的守恒定律，在探 索物理规律的对称性，继而探究何种拉格朗日量对应这种对称性，这就为寻找作用量提供了一套行之有效的系统的科学方法这种将对称性、守恒律及作用量联系起来的分析方法，在量子理论及近代物理研究的各个方面产生了巨大的影响 第 3 节 三大守恒定律 在本节中，我们将证明对称性与守恒律之间有如下关系： （ 1） 时间平移对称性 能量守恒 ： 0 ( )
25、dE E T Vdt = = +； （ 2） 空间平移对称性 动量守恒 ： 0 ( )aaadp p m pdt =； （ 3） 空间旋转对称性 角动量守恒 ： 0 ( )dL L r pdt = = 3.1 时间均匀性与能量守恒定律 首先来推导能量守恒定律 由时间 的 平移不变性，可 知表征 封闭系统 物理特征 的拉格朗日函数 的表达式不随时间 t 的变化而改变，即 不 显 含时间项 ：( )11, , , , ,ssL q q q q，因此 拉格朗日函数对时间的全导数可写成 iiiiiidL L Lqqdt q q=+， 利用 欧拉 -拉格朗日方程 将iLq 替换为idLdtq ，得 i
26、i ii i ii i id L L L d Lq q qd t q q d t q = + = 此即 0ii idLqLdt q =， 因而 有 co n s tii iL qLq （常数） 为了看出上式的物理意义，我们 令ii iLE q Lq=，并将其代入 ( )2 11 1 ,2n niiiL m v U r r= 得 ( )2 11 1 + , ,2n niiiE m v U r r T U= = + 即动能 T 与势能 U 之和 E 为不随时间 t 改变 ，此即能量守恒定律 3.2 空间均匀性与动量守恒定律 为了推导能量守恒定律，我们利用空间的均匀性，即封闭力学系统在空间中整体平移
27、时，性质保持不变所谓平移就是将系统中所有质点移动相同的位移，可得： i i ir r r r = +， iivv，因此 0 iii i ii i iL L LL r v rr v r = = + = 由 r 的任意性知 0i iLr = 由欧拉 -拉格朗日方程，可知 0 iiiid L d Ldt v dt v=， 即 cons ti iLP v= （常数）将 ( )2 111 ,2n niiiL m v U r r=代入 P 的表达式，得 1n iiiP mv= 此即动量守恒定律 在现实世界中存在广义力吗？广义力并非某种力，广义力和广义动量都是抽象的表述方法 3.3 空间各向同性与角动量守恒
28、定律 空间的各向同性意味着封闭系统整体在空间中任意角度转动时，力学性质保持不变为此我们引入无穷小转动矢量 ，其大小等于转角 ，方向沿转动轴，使得与 的方向符合右手螺旋法则 图 4. 系统转动 的 径矢位移 我们首先研究在系统转动时，从位于转动轴上的坐标原点指向系统中任意质点的径矢位移的改变量由图 4 可知位移矢量大小为 sinrr = ，方向垂直过和的平面，因此 rr =同理，可得系统转动时质点 速度矢量的改变量为vv = 将这些表达式代入系统转动时拉格朗日函数不变的条件，得 0 i i i ii i i ii i i iL L L LL r v r vr v r v = = + = + 代入欧拉 -拉格朗日方程 ,iii i iL L d L dppv r d t v d t = ，并置换因子的顺序，将 移到求和号之外，得 0 i i i i i i i i i ii i i i id d d d dp r p r r p r p r pd t d t d t d t d t = + = + = 由 的任意性，可知 0iiid rpdt =，从而 c o n s tiiiM r p= （常数）， 此即角动量守恒定律
