1、第 2 讲 从自然数谈起 数的起源与理性发展 第 1 节 数的起源与发展 从自然数到哈密顿四元数 对于今天的学习者，在幼儿园或者更早的阶段就开始接触“自然数” .数字给我们的生活提供了便利，在人们描述世界、理解世界的过程中，数字展示了巨大而神秘的力量 . 1.1 计数系统 从人类文明开始之初，因为测量土地、财产分配、商业贸易等需要，我们的祖先就尝试使用了很多不同的计数系统，用来记录和计算数字 在曾经出现的刻 痕计数 、结绳计数、筹码计数、算盘计数、罗马数字、十二进制、二十进制、六十进制等众多计数方式和排序规则中，阿拉伯数字的“数值+数位”的十进制系统备受青睐，今天在全世界各地被广泛采用 . 阿
2、拉伯数字实际来源于古印度人的发明，后经阿拉伯人传入欧洲， 经欧洲人加工固定成现在通用的样子，但在传承的过程中被谬传为阿拉伯数字 阿拉伯数字的基本符号为 1， 2， 3， ， 9 和 0， 这 10 个数字（称为“基”）与人的天然计数工具“手指”或“脚趾”相一致，而数字的英文“ digit”一词的拉丁语词根的意思恰好就是“手指”或“脚趾” “数值 +数位” 的计数系统都需要一个计数单位，这样就有了“进制”的概念， 十进制系统中 每个“数位”代表 10 的几次方，十进制系统有个位、十位、百位、千位等 01=10 ， 110=10 ， 2100=10 ， 31000=10 ， 众所周知，若在十进制下
3、，一个数用符号记为 1 1 0nna a aa （ 为确切，这里记为1 1 0 10()nna a a a ）， 这就表示 1 1 01 1 0 1 0 1 1 0( ) 1 0 1 0 1 0 1 0nnn n n na a a a a a a a= + + + + 进一步，人们创造了阿拉伯数字的科学计数法 就是 把一个数表示成 a（ 1 10a ）与 10 的 n 次 幂相乘的形式 （ 其中 n 为整数 ） 。 例如，光速是 300000000米 /妙（每秒 3 亿米），利用科学计数法可以写成 3108 米 /秒 这种计数法既可以表 示微观世界的小到一个原子核的半径，也可以表示宏观世界的大
4、到银河系两颗星球的距离，体现了数学符号的简洁精巧且威力无比 . 尽管今天以十为“基”的十进制系统被普遍采用，但是在不同的文化背景或某种应用场合下，人们也会选择其他不同“基”的计数系统 . 现代社会处在高度依赖电子信息的时代，电子产品都是基于二进制系统，这种系统的产生是因为计算机中的每个开关处于“开”或“关”的两种状态之一，现代计算机技术就建立在识别这两种状态的基础上 .二 进制系统中 每个“数位”代表 2 的几次方， 二进制系统有个位、二位、四位、八位等 01=2 ， 12=2 ， 24=2 ， 38=2 ， 若在二进制下，一个数为 1 1 0nna a aa （ 这里记为 1 1 0 2()
5、nna a a a ）， 这就表示 1 1 01 1 0 2 1 1 0( ) 2 2 2 2nnn n n na a a a a a a a= + + + + 二进制虽然数码只有 0 和 1，但是为了表达十进制系统中的一个很小的数可能需要用很 长的一行表达式，例如十进制中的 89，在二进制中被写成 1011001 （ 6 5 4 3 2 1 01 0 2( 8 9 ) ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 2 0 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 0 2 1 2= = + + + ） 德国哲学家、数学家莱布尼茨（ W.Leibniz,16461716）是他所处时代最伟大的思想家之一，
6、他在二进制计数法中看到了宇宙创始之初的状态，想象 1 表示上帝， 0 表示虚无，上帝从虚无中创造出所有的实物因此，他在数学系统中用 1和 0 表示了所有的数 莱布尼茨是系统提出二进制法则的第一人，这为现代电子计算机的发展奠定了基础因为二进制表达的数字串太长，为节约内存，缩短二进制的各种方法被提 出来，八进制、十六进制、三十二进制以及六十四进制系统被逐步引进，计算机技术也得以不断进步 公元前 3000 年，古巴比伦人采用 六十 进 制表示的数字系统，在六十进制下，一个数为 1 1 0nna a aa （ 这里记为 1 1 0 60()nna a a a ）， 这就表示 1 1 01 1 0 6
7、0 1 1 0( ) 6 0 6 0 6 0 6 0nnn n n na a a a a a a a= + + + + 今天时间的度量中 1 小时有 60 分钟， 1 分钟有 60 秒，一个圆周的度数为 360，这些都是 六十 进制在我们文化生活中留下的痕迹 60 能够被 1， 2， 3， 4， 5， 6，10， 12， 15， 20， 30 这 11 个比自身小的 整 数整除，因此 六十 进制在处理数量分配问题方面具有明显优点 由于我们的头脑不会本能地用不同于十进制的进制来进行思考，所以还需要发展将各种进制进行相互转化的方法 1.2 从算术开始 不断追踪更全面、更完美的数字过程 开始于自然数
8、的计数系统，随着时间的推移，不能满足人们的需求，例如描述整体的一部分需要分数，描述小于 0 的情形需要负数等等 历史上，人类最先认识的是自然数 1， 2， 3， （后来 0 也被加入了进去），全体自然数的集合称为自然数集，记为 N 算术是关于自然数的数学理论， 自然数集对于加法和乘法运算具有封闭性（运算的结果还在这个集合中），但是自然数集对于减法运算就不具有封闭性，为使减法运算具有封闭性，人们引入了负数的概念，将自然数集拓广为整数集，记作 Z （正整数集合记为 +Z 或 +N ）整数集对于加法、减法以及乘法运算都封闭，但整数集对于除法运算不封闭，为此，人们引入 了 有理数的概 念，将整数集拓广
9、为有理数集，记作 Q 任意有理数都可以表为形如 pq的分数形式，其中 ,Zpq ， 0q 且 ( , ) 1pq= （ 即 ,pq互素 ） 有理数集尽管对于加、减、乘、除四则运算封闭，但是对于极限运算不封闭， 对于开方运算也不封闭， 所以无理数的概念 被引 进来 ，有理数集拓广为实数集，记为R 因为方程 2 10 x += 的解不在 R 内，所以虚数单位 i 被创设出来，随之有了复数的术语，实数集进一步被扩大到复数集 C 综上，有 N Z Q R C 例 1 任何有理数（分数）转化为小数以后，或者是整数，或者是有限 小数，或者是无限循环小数（这个结论可以严格证明）并且，可以十分容易地构造无限不
10、循环小数（无理数），例如， 0.131331333133331 . 有理数原文是“ rational number”，其中“ rational”一词来源于“ ratio”，是“比例”的意思，近代中国曾将“ rational number”译为更为贴切的“比例数” .无理数原文是“ irrational number”，更为贴切的译法应为“非比例数” . 例 2 证明（ 1）有理数集 Q 是可数集（能与正 整数集 +N 建立一一对应关系的集合称为可数集 ）；（ 2） 几乎所有的小数都是无理数 证明： （ 1） 可以按照如下方式排列有理数： 对每个正有理数pq（ ( , ) 1pq= ），若将 q
11、p+ 称为它的高，则高为 2 的有理数只有 1；高为 3 的有理数只有： 12,21 ；高为 4 的有理数有： 13,31 ；高为 5 的有理数有： 14,23,32,41 ； 任何高度的有理数都只有有限个，这就 保证了可以按照高，将有理数无遗漏、无重复地排列出来，有理数集合 Q 与 正整数集 +N 之间就建立起一一对应的关系 （ 2） 为方便计，只在 0,1 上考虑问题下面证明在此区间上，有理数的“长度”为 0，无理数的“长度”为 1 因为有理数是可数的，不妨设为 12, , , ,nr r r ， 对 0（ 这里 是任意小的正数 ） ,有 1 1 1( , )22r r r +, 2 2
12、222( , )r r r +, ( , )22n n nnnr r r +， 从而，在 0,1 上的有理数的“长度”为 11| 0 ,1 | 22 nnQ = =. 例 2 说明，无理数非常之多，远多于有理数而且从统计的角度看，作为无限不循环小数的无理数，它的各个数字的排列也是十分随机的从而，可以说，对于实数而言，我们熟悉的整数和分数其实是稀少的，而毫无章法的无理数才是主流 例 3 1 1 1e 1 + 1 ! 2 ! !n= + + + +， 证明 e 是无理数 证明： 1 1 1 1 1 1 1e 1+ 1 1 ! 2 ! ! ( 1 ) ! 2 ( 2) ( 3 ) ( 2) ( 3
13、) ( 4)n n n n n n n n= + + + + + + + + + + + + + +， 故 !e nnn I R=+ ， （ 1） 其中 1 1 1!(1 + )1 ! 2 ! !nIn n= + + +为整数，而 1 1 1 1 1 1 2 ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )nR n n n n n n n= + + + + + + + + + +， 当 2n 时 ， 1 1 1 1 e0 1 11 1 ! 2 ! 3 ! 1nR nn + + + + = +（ 因为 e3 ） . 现采用反证法，若 e 是无理数，设 e pq=， 其中 ,Zpq 且
14、( , ) 1pq= ， 则当 nq 时，（ 1） 式左端是整数，而右端不是整数，此为矛盾，这说明 e 是无理数 . e 是大学数学中最重要的无理数，作为自然对数的底，它与自然界中许多现象的数学规律有关，在 物理学 有 关波（如声波 、 光波 、 量子波）的方程中 被普遍应用 . 1.3 哈密顿四元数 三维复数的寻找 方程 2 10 x += 的解被数学家用“ i ” 表示，作为虚数单位，代表一个与实数不同的虚幻的数，一个满足 2 1i = 的数，它不存在于实数轴上，而是存在于一条和数轴垂直的称为“虚轴”的轴上 .接着，数学家将“ a bi+ （ 其中 ,Rab ） ”称为复数，因为它包含两种
15、数，即实数和虚数，具有“复合”的含义，这种表示下的 复数有了具体的几何意义（ 图 1）：图像上可以表示横坐标为 a ，纵坐标为b 的点，即笛卡尔平面直角坐标系中的点 (, )ab ， 同时，也可以表示起点是原点(0,0)O ， 终点是 ( , )Pab 的平面向量 . 图 1. 复数的几何意义 对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算 .人们不一定要几何地做出这些运算，但能够代数地研究它们，像 曲线的方程能用来表示曲线和研究曲线一样例如，对于平面上的两个力的合力，可以用平行四边形法则几何地做出来，但也可以采用向量的加法代
16、数地表示出来，例如， 23i+ 与 45i+ 之和为 ( 2 3 ) ( 4 5 ) 6 8i i i+ + + = +. 在乘法运算中，一个正数 c 乘以 i 意味着起点是原点 (0,0)O ， 终点是 ( ,0)Cc 的平面向量逆时针方向旋转 90， 如果用 2i 去乘以正数 c ， 这个向量就会逆时针旋转180，与原来向量方向相反，这就解释了 2 1i = 的 原因 . 有了用二维复数表示 90旋转的 简洁 方法，处理电压、电流、电场或磁场的涉及振动或波动频率出现 90相位差 变化问题就方便了 .同样，在航空航天工程领域，利用复数可以简 化机翼升力的计算，在土木和机械工程领域，复数可以提
17、供对建筑物的振动等情况的分析 . 二维复数的利用受到维数的限制，因为复数是用来表示平面上的向量，但是若有几个力作用于一物体上，这些力不在一个平面上，代数上为了处理这些力就需要复数的一个三维类似物尽管我们能用点的通常笛卡尔坐标 ( , , )xyz 来表示从原点到该点的向量，但不存在三元数组的运算来表现这种向量的运算（见讨论题）， 要寻找的三维复数的类似物就 要求这些运算和二维复数的情况一样，表面看来必须包括加、减、乘、除 ,且服从通常的 结合律、交换律和分配律，使代数运算能自由而有效地运用 数学家们开始寻找所谓三维复数及它的代数，经过无数次的失败， 1843 年，爱尔兰数学家哈密顿 （ W.R
18、.Hamilton 1805 1865） 历经 10 多年之久的思考，终于开创性地创造了二维复数的空间类似物 哈密顿四元数 根据哈密顿记述，他于 1843 年 10 月 16 日 与 妻子在 都柏林 的皇家运河上散步时 ， 突然 迸发了思想的小火花， 之后哈密顿 立刻 将 四元数的结果 刻在附近 的 布鲁穆桥 上 定义 哈密顿四 元数（简称四元数）是形如 a bi cj dk+ + + 的数，其中, , , Ra b c d ， 2 2 2 1 , , , , , , .i j k j k i k j i k i j i k j i j k j i k= = = = = = = = = 从上述
19、定义中，可以看出四元数有两个特点 （ 1）包含四个分量，而不是三个分量；（ 2）不具有乘法的交换律 四元数中的虚数单位 ,ijk 起着 i 在复数中所起的作用四元数的实数部分称为四元数的数量部分，而其余是向量部分向量部分的三个 系数是点 P 的笛卡尔直角坐标， ,ijk 是定性单元，几何上其方向是沿着三个坐标轴 对任意两个四元数 1 1 1 1a b i c j d k+ + + 和 2 2 2 2a b i c j d k+ + + ， 其加法和乘法定义如下 （ i） 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( )a b i c j d k a b i c j d k+ + + + + + +
20、 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .a a b b i c c j d d k= + + + + + + + （ ii） 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) ( ) .a b i c j d k a b i c j d k a b i c j d k+ + + + + + = + + + 其中乘法所有熟知 的代数规则都假定有效，除了 ,ijk 乘积时，交换律不再满足，代之以定义中给定的规则 . 对于四元数 q a bi cj dk= + + +， 它的模定义为 2 2 2 2| |q a b c d= + + +.如果令q a bi cj dk=
21、 ， 则有 | |qq q q q=,q 的逆定义为 1 | |q q q = . 四元数这个新“数” 包含四个分量，后来在几何的基础上给出了合理的解释：将四元数的虚部 bi cj dk+ 等同于三维空间中的点 ( , , )bcd ，则用四元数能够描述向量的三维旋转，实部 a 与点 ( , , )bcd 一起描述了向量的伸缩也就是，四元数能通过旋转、伸长或缩短将一个向量变成另一个向量 . 在实际应用中，做事情的顺序往往很重要，先做还是后做结果往往不同，因为与我们的直觉相抵触，所 以乘法交换律并没有得到广泛的认可，尤其对于物理学家而言，他们对自然界的规律不服从交换律有着更为深刻的理解在量子力学
22、发展的初期阶段，德国著名物理学家海森堡 （ W.K.Heisenberg， 19011976） 发现了一条和我们直觉极不相符的重要定律 著名的海森堡测不准原理这条原理的内容是：若用 p 表示一个粒子的动量，用 q 表示这个粒子的位置，那么p q q p 如果自然界没有 这种神奇的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物包括我们人类都不可能存在 四元数对于代数而言，具有不可估量的重要性一旦数学家们体会到可以构造一个有意义的、有效的、有用的“数”系，它可以不具有实数和复数的交换性质，那么他们就可以更自由地考虑，甚至更偏离实数和复数的通常性质的创造 .年轻的英国数学家凯莱 （ A. Cayley， 182
23、1 1895） 受到哈密顿发现四元数的启发，继续建立了一种八元数（凯莱数） .越来越多的数学家接受了这些源于常见运算规则之外的衍生结果，到 1940 年代，人们已经相信存在一维、二维、四维和八维 的虚数系 .根据翻倍的规则，能否进一步建立十六维的代数系呢？经过多年的努力，数学家给出了答案：实数、复数、四元数、八元数系是仅有的可以进行加、减、乘、除运算的系统 .因此，不可能建立十六维的代数 . 令人惊奇的是，在计算机时代，四元数找到了自己的价值在三维几何的旋转计算中，使用四元数比使用矩阵更有优势因此，在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域，四元数都是极为重要的工具哈密顿的结果帮助建立了全球数以千
24、亿计的计算机产业 第 2节 理性发展之一 从四元数到群、环、域 哈密顿 关于 乘法交换律不成立的四元数代数 的工作，冲破 传统数学的藩篱，自此打开了抽象代数的大门实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，只要与其余假定不矛盾，就能构造出许多代数体系 群、环、域就是数学家把具有某些运算并满足一定规律的集合（不一定是数集）赋予的一些特殊名称，从而构成的不同代数体系 研究群、环、域等各种抽象的公理化代数系统的数学分支，称为抽象代数或近世代数抽象代数的开创者是 19 世纪法国天才的数学家伽罗瓦（ E.Galois，18111832），他在研究一元高次代数方程是否根式可解的过程中
25、，发明了群论他证明了一个代数 方程如果根式可解，则相应的伽罗瓦群是一个可解群，这里根式可解的意思是利用方程系数的加、减、乘、除、乘方、开方六种运算把根表示出来伽罗瓦将一元高次方程的可解性与群联系起来，得到一元五次及以上代数方程不存在求根公式他的结论终结了古典代数学的核心问题 代数方程的求根问题，并解决了 2000 多年前古希腊遗留下来的尺规作图三大难题（化圆为方、倍立方、三等分任意角） 2.1 群的概念及例子 定义 1 设 G 是一个带有运算“ ”的非 空集合，且其中的运算满足 （ 1）封闭律：对 Gba , ，有 ab G ； （ 2）结合律：对 Gcba , ，有 ( ) ( )a b c
26、 a b c = ； （ 3）幺元律：存在单位元 G1 ， 对 Ga ， 有 11a a a = = ； （ 4） 逆元律：对 Ga ， Ga 1 ，使得 11 1a a a a = = 则称集合 G 对于运算 “ ” 构成 一个群（ Group），记为 ;G ，简称 G 是一个 群 例如，以 Z 表示由整数所组成的集合 ，则 Z 在 通常的 加法运算“ +”下构成一个群 若满足 （ 1）和（ 2） 两条运算规律（封闭律和结合律），则称 G 对于运算 “ ”构成 一个 半 群 对于 G 中的 任意 元素 ba, ，若还有 a b b a = ，则称 G 对运算 “ ”构成一个 交换群 例如，
27、Z 在 通常的 加法运算“ +”下构成一个交换群 一个代数运算用什么符号表示是没有关系的，一个交换群的代数运算，在某种场合下，用加法符号表示更方便 . 定义 2 一个交换群称为 加群 ，假如我们把这个群的代数运算称为加法，并且用符号“ +”来表示 例 1 考虑一个正方形，将它进行刚体变换（ 一种变换前后两点间的距离依旧保持不变的变换 ），则该正方形变到与自身重合的不同变换的类型有：绕中心旋转变换四种：旋转角度 分别为 0， 90， 180， 270，轴反射变换四种： 有 4条 不同的对称轴容易证明上述的 8 种变换不论经过多少次重复作用 产生的复合变换或是做逆变换仍是这 8 种 变 换，不可能
28、产生新的变换 将上述任意两种变换的相继实施看成是这两种变换的运算 “ ” ，则可以验证这样的运算 “ ” 满足满足封闭律、结合律（但不满足交换律），存在单位元（绕中心旋转的角度为 0变换 ），满足幺元律和逆元律因此正方形变到与自身重合的上述 8种 变换组成的集 合 G 就是一个群，称为 正方形的对称群 （图 2） 其中 绕中心旋转，旋转的角度为 0的 变换 效果是正方形的边、角都没有动，固定不动也是一种变换 从例 1 可见，群论的重点在于，在一定的限制条件下，有多少种方式可以转化一个形状，使得这个形状的本质保持不变，即所谓的“变中有不变”，这些转化方式就称为这个形状的“对称性”，这些转化方式的
29、集合就形成一个“群” ABCD BADC DABC DCBA CDAB CBAD BCDA ADCB 图 2. 正方形的对称群 （ 从某一固定点 按照逆时针顺序的 顶点字母 记号 ） 群的应用十分广泛，因为分子和晶体里有太多的对称性，群论提供了处理它们的结构和行为的工具关于晶体的分类，物理学家、化学家、晶体学家进行了很多研究，最后 用群的理论给出了结论：晶体只有 230 种可能的结构 20 世纪上半叶，物理学家发现群论这种数学语言可以统一能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒、宇称守恒定律等反映客观世界对称性的理论 现代粒子物理学也完全依赖群论，种类繁多的新粒子之所以能被整齐归入标准模型，都是
30、因为对称性的研究功劳事实上，相当多的新粒子是被群论预测出来，再被实验发现的 在二维装饰图案中， 有了变换群 （由变换构成的群） 的概念以后， 数学家 从理论上 证明了总共有 17 种本质上不同的对称性在 古埃及 的装饰物中， 确实可以 找到所有 这 17 种对称性图案 上述的诸多例子说明，群论是科学和艺术之间的一座桥梁，涉及了“对称性”这一人类追求和喜爱的主题，它高度地抽象出了“对称”的最本质特征 2.2 环的概念 定义 1 对于一个集合 R ， 除了加法 运算 “ +” 外，还 有 另一个乘法运算“ ”，满足 （ 1） R 是一个加群： R 对加法的代数运算成为一个交换群； （ 2） R 对
31、乘法运算是封闭的，即若 Rba , ，则 Rba ； （ 3）乘法结合律成立，即若 Rcba , ，则 cbacba = )()( ； （ 4） 加法与乘法的分配律成立，即若 Rcba , ，则 cabacba +=+ )( ， acabacb +=+ )( 则称集合 R 在两种运算（ “ +、 ” ）下构成一个 环 （ Ring） ， 简称 R 是一个环 . 如果 R 是一个环，并且对 Rba , ，有 abba = ，则 R 称为 交换环 如果 R对于 加法是半群 ， 对于 乘法也是半群 （ 满足乘法的封闭律和结合律 ）， 且 加法与乘法的分配律 成立 ， 则 R 称为 半环 . 简言之，
32、 所谓环就是 对于 加法 构 成 交换 群 ， 对于 乘法 构成 半群 ， 并且 满足 加法和乘法的 分配律 例如，全体整数的集合 Z 对于通常的 加法 和乘法 构成一个环 ，而全体 自然数 的集合 N 对于通常的 加法 和乘法 构成一个 半 环 2.3 域的概念 定义 1 一个交换环 R 称为一个 域 （ Field），如果 R 还满足 （ 1） 存在非零元： R 中至少包含一 个非零元 （ 加群中的唯一的单位元，称为零元，这里记为 0）； （ 2） 存在单位元： 对乘法运算， R 中有一个单位元，即存在 Re ，对任意 Ra ，有 aeaae = ； （ 3） 存在逆元： R 中每个不等于
33、零的元对乘法运算有一个逆元，即若 Ra ，且0a ，则存在 Ra 1 ，使得 11a a a a e = = 一般地，将域记为 F . 按照 上述 定义 1， 由 全体 整数所组成的集合 Z 满足性质 （ 1）与（ 2） ，其中零元就是通常的数“ 0”， 乘法运算的单位元就是 通常 的数“ 1” 但若 Za ， 0a ，其逆 Z1a （注意： Z 对加法运算来说，它的单位元是 0， a 的逆元是 a ），即a 在 Z 内不存在对乘法运算的逆，故 性质 （ 3）不成立，所以 Z 不是域 显然，对于通常的加法和乘法， 全体有理数的集合 Q ，全体实数的集合 R 和全体复数的集合 C 均构成一个域
34、（ 数域的定义有时简言之，即对通常的四则运算封闭的数集 ） 在高等代数中，有如下结论：一个数域 F 上一切 nn 矩阵，对于通常的矩阵加法和乘法而言，构成一个存在单位元的环 当 2n 时，这个环是非交换环，并有零因子 . 第 3 节 理性发展之二 从有限到无穷 3.1 可数集的势 二十世纪初，德国数学家 康托尔（ G.Cantor， 18451918） 创立的集合论 是具有革命性 的 创新 结果 ， 并很快成为了现 代数学的基石 法国著名数学家庞加莱（ H.Poincar， 1854 1912） 在 1900 年的 国际 数 学家大会上曾宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦” 集合
35、 是 高中代数中接触的第一个概念， 它十分简单易懂 在大学数学中，函数、线性空间、拓扑空间、事件域等基本概念，其中都涉及到集合 因此，集合论在今天的数学中具有重要意义，然而， 集合论真正的精髓在于 康托尔 对无穷集合的探索过程以及所得到的超穷集合论 自然数是确定的基本概念 ， 每一个自然数都是有限的数，但是将自然数全体作为一个对象来研究就不可避免要遇到无穷 在康托尔之前，数学家一般只考虑潜无穷 ，即一种无限增长的可能性 而 康托尔 将无穷大本身作为研究对象， 考虑实无穷 ，即将无穷视为一个完成了构造的实体 他 提出无穷集合的概念，并以一一对应关系为基本原则， 引进了 无穷集合 之间比较大小的新
36、方法 所谓一一对应就是指集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，反之亦然 如果两个集合之间能够建立一一对应，很明显，这两个集合所包含的元素个数一定相等，数学的术语称 这 两个集合具有相同的 基数 或 势 利用一一对应来比较 无穷 集合的基数， 可以 得到正整数与其平方数一样多，正整数与其倒数一 样多，正整数与正偶数一样多 能与正整数集 合 +N 建立一一对应的集合， 康托尔 称之为 可数集 ，可数集的基数， 也就是 正整数的个数，记为0，其中 （读作“阿列夫”）是希伯来字母表中的第一个字母，0这个符号，读作“阿列夫零” ， 并且可以证明可数集是 最 “ 小 ” 的无
37、穷 集 进一步，康托尔 又得出了让人不可思议的结果：有理数集合 Q 与正整数集合 +N 中的元素一样多 （ 见 1.2 节例 2） 因此， 尽管 QN+ ，但是 Q 与 +N 具有同种类型的无穷属性 利用 康托尔 一一对应的 方法 ， 可以很容易 解释 伽利略悖论 正整数集合,3,2,1N n=+ 与 正整数平方的集合 ,9,4,1 2 nG = ， 哪个集合包含的元素个数多？ 一方面，正整数集合里包 含了所有的平方数，前者 包含的元素个数显然比后者多；另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合 包含的元素个数 应该相等 （ 图 3） ，这导致矛盾 2222 321321n
38、n 图 3. 伽利略悖论 人们之所以认为正整数的 个数 与其平方数的 个数相等 是荒谬的，是因为 这与古希腊人就已经了解的常识性的观念 “整体大于部分”相悖 ， 康托尔敏锐地抓住了无穷集合的特征，将无穷集合定义为可以与自己的一个真子集一一对应的集合，而对于有限集合这是不可能的 3.2 不可数集的势 实数集 R 是 数直线上的所有数组成的集合，被称为 实数连续统 ，因为它能够无空隙地填满数直线 可以构造 函数 xxy =1 ，将 )1,0( 一一对应到 ),0( + ，所以 )1,0( 和 ),0( + 的元素的个数是一样多的 康托尔 考虑 了 0 与 1 之 间所有实数组成的无穷集合，他用反证
39、法和构造法证明了它不能和正整数集合建立一一对应关系 假定已经 存在一个由 )1,0( 中所有的实数 排列的完整数列 naaaa 1131211.0 naaaa 2232221.0 naaaa 3333231.0 nnnnn aaaa 321.0 可以 构造出这样的一个数 nbbbb 321.0 ： 111 ab ， 222 ab ， ， nnn ab 依此类推，结果构造出来的这个数不可能出现在 上述数列 中的任何位置，因为它与其中所有数都是不同的，反证假设不成立，即开区间 )1,0( 中的全体实数不可列 从而，实数集 R 与正整数集 +N 之间不能建立一一对应 因此，实数集不再是可数集，实数的
40、个数比正整数多，从而无理数在数量上远远超过有理数， 康托尔 将实数集 R 称为 不可数集 ， 记实数集的势为 c， 则有0 c 实数集与正整数集之间不可以建立一一对应关系 ， 则得到一个具有更高阶无穷属性的集合 R ，除了最 “ 小 ” 的无 穷 集外还有更大的无 穷 集，这是革命性的发现 康托尔 的理论明确指出 了 任意两条线段，无论它们的长度如何，都含有相同数量的点 ， 并且任意线段上点的数量总是 c 除了直线或直线段，康托尔还考虑了 平面上的点，经 过 3 年（ 1874 1877） 研究之后，他构造出了单位正 方形与区间 )1,0( 的一个一一对应，进而说明了平面上的点与直线上的点同样
41、多，他还证明了 3 维空间（直 至 n 维空间）上的点与直线上的点同样多，均为 c 这些结论完全颠覆了以往的观念 3.3 超穷数理论与连续统假设 康托尔 继续思考能否有更大基数的无穷集合，即无穷能否有不可数之上的等级 经过十多年的努力 ， 1891 年， 他 终于成功地找到一种方法构造出基数更大的集合 我们知道，当集合 A 中有 n 个元素时，其子集个数为 n2 ，这一结论推广到无穷时仍然成立 ， 即对任何一个无穷集合 A ， A 的幂集的势都大于 A 的势 康托尔 把集合 A 的一切子集组成的集合称为 A 的 幂集 正整数 集合 +N 的基 数为 0 ，其幂集的基数为 02 ， 康托尔 证明
42、了 02 等于连续统的势 c 这样，从 0 出发，康托尔 构造出一个具有更高阶无穷的集合 以 +N 为起点，他构造了其幂集 1N ，将 1N 的基数记为 1 （ =c），从而有 0 1 再构造 1N 的幂集，产生具有基数 2的集合 2N ，这个过程可以不断重复，产生一个“阿列夫”序列， 称为 超穷基数 ，它们具有越来越高阶的无穷，可以按顺序排起来 n210 这样 无穷之间也存在差别，也有不同的层次 如此， 康托尔 制定的无穷大算术，对各种 无穷大建立了一个完整序列，无穷集合自身又构成了一个无穷序列，这就是 康托尔 创立的 超穷数理论 这样就可以建立一种算术理论，在其中有可能用基数进行加法和乘法
43、，从而为逻辑学家和数学家们提供了一片广阔的用武之地 例 1 设集合 S 为有限集，证明康托尔定理：集合 S 的势必小于其幂集 2s 的势（一个集合的所有子集全体所成集合称为它的幂集） 证明：记集合 S 的势为 ()card S n= ， S 幂集 2s 的势为 (2scard ） ， S 的一切子集 的总数为 0 1 2 ( 1 1 ) 2 ( 2 )n n n Sn n n nC C C C c a r d+ + + + = + = =， 因为对任意非负整数 n ， 成立 2nn ， 因此对有限集 S ， 康托尔定理成立 . 1878 年 ， 康托尔 提出一个著名 的猜测 连续统假设 ：在
44、0 和 c 之间没有任何基数，即 0 之后的下一个基数就是 c康托尔 试图证明连续统假设，但是历经多年的努力，仍然无法证明这个假设的真伪 连续统假设 被 希尔伯特于 1900年国际数学家大会上提出的 23 个问 题中被列为第一个，因为它与数学基础的研究密不可分，十分重要 对这个问题的研究，有两项重大成就 1933 年，美籍奥地利数学家哥德尔（ K.Gdel， 1906 1978） 利用公理化的 集合论，证明了 连续统假设 在逻辑上与该理论的其他公理彼此 是相容的，即 不可能利用集合论公理系统证明连续统假设不成立 1963 年，在数理逻辑的范畴内， 美国数学家 科恩（ P.Cohen， 1923
45、 2007）证明 了不能用集合论公理系统证明连续统假设成立 哥德尔 和 科恩 的工作 说明了 连续统假设既不能被证实也不能被证伪，连续统假设独立于集合论的 其他 公理 ， 这是一个重要的转折点 正如平行公设导致 存在着很多种不同类型的几何学 一样（见 第 3 讲 ） ，在集合论领域中，连续统假设的独立性使我们获得拥有不同类型集合论的可能性 由于 康托尔 的无穷学 说从根本上否定了“整体大于部分”的观念，而且他在无 穷 王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点 康托尔 的工作最初遭到许多人的嘲笑与攻击 他的老师克罗内克完全否认并攻击 康托尔 的工作，称“ 康托尔 走进了超穷数的地狱” ， 更有人嘲笑超穷数理论纯粹为“雾中之雾” 经过 20 余 年， 康托尔 的工作才最终获得世界公认 ， 希 尔伯特赞誉超穷集合论是“数学思想的最惊人的产物” 和 “这个时代所能夸耀的最巨大的工作”
