1、概率论第 48讲大数定律依概率收敛的意义 1 01nnnXanXaXa依 概 率 收 敛 即 依 概 率 收 敛 。 随 机 变 量 序 列 依 概 率收 敛 于 ， 说 明 对 于 任 给 的 ， 当 很 大 时 ， 事 件“ ” 的 概 率 接 近 于 ， 但 正 因 为 是 概 率 ， 所 以 不 排除 小 概 率 事 件 “ ” 发 生 。 所 以 说 依 概 率 收 敛 是 不确 定 现 象 中 关 于 收 敛 的 一 种 说 法 。定义 ：依概率收敛),(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXpnnpnpn则连续，在点，又设函数设设 1212, , , ,l i m 1
2、, , , ,nnnnpnX X X aP X aX X X aXa 设 是 一 个 随 机 变 量 序 列 ， 是 一 个 常 数 ，若 对 于 任 意 正 数 ， 有则 称 序 列 依 概 率 收 敛 于 ， 记 为依概率收敛的性质 l i m 0nn P X a 切比雪夫定理1211, , , ,( ) ( ) ( 1 , 2 , ) ( )( 1 , 2 , ) 011l im ( ) 1ni i inniiniiX X XE X D X i D XCiP X E Xnn 定 理 设 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ，数 学 期 望 和 方 差 都 存 在 ， 且， 则
3、 对 任 意 给 定 的 ， 有11 nniiYXn 令11 nniiE( X )n pnnY 切比雪夫定理的证明21111nniiiicD X D ( X )n n n 1111nniiiiE X E ( X )nn 证由切比雪夫不等式21111 ( ) 1nniiiicP X E Xn n n 即1111l im ( ) 1nniiniiP X E Xnn 1111l im ( ) 1nniiniiP X E Xnn 切比雪夫定理的特殊情况1221, , , ,( ) , ( )( 1 , 2 , ) 01l i m 1niininipX X XE X D XiPXnX 定 理 设 是 相
4、 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ，有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ，。 则 对 任 意 给 定 的 ， 有即此定理表明 : 相互独立具有相同期望和方差的随机变量 X1, X2, , Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期望值 .伯努利大数定理 0l i m 1l i m 0AAnAnn n ApAnPpnnPpn 定 理 设 是 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 发 生 的 次 数 ，是 事 件 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 于 任 意 正 数， 有或伯努利大数定理的证明1l i m1)(1l i m),2,1)(1()(,)()10(,21
5、2121pnnPpXXXnPkppxDpxEpXXXXXXnAnnnkknnA即有理，则由切比雪夫大数定分布，因而的数为相互独立，且都服从参，其中，因为证明辛钦定理121, , , ,( ) ( 1 , 2 , )1l i m 1nkniniX X XE X kPXn 定 理 设 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ，服 从 同 一 分 布 ， 且 具 有 ， 则 对 任 意正 数 ， 有显 然 ， 贝 努 里 大 数 定 理 是 辛 钦 定 理 的 特 殊 情 形 。大数定律在概率论中的意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性。它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律。小结三个大数定理的区别和联系（ 1）伯努利大数定理是切比雪夫定理和辛钦大数定理的特殊情形；（ 2）切比雪夫定理和辛钦大数定理共同点：都要求序列是独立而且期望是存在的。（ 3）切比雪夫定理和辛钦大数定理不同点：切比雪夫 大数定理要求各个随机变量的方差 存在 且一致有界，辛钦大数定理要求各个随机变量同分布，但对方差没有要求，方差可以不存在，也可以存在，但不需要一致有界 。返回
