1、4-1 随机变量的数学期望 （三）第 4章 随机变量的数字特征数学期望的性质1 定义2 常用分布的数学期望3 数学期望的性质.E c c=设 c 是 常数 , 则 ( ) .c X c E X=设 c 是 常数 , X 是 随机变量 , 则 ()X Y E X E Y+ = +设 X, Y 是两个 随机变量 , 则设 X, Y 是相互独立的两个 随机变量 , 则 ( ) .E X Y E X E Y=应用 举例 分组检验问题某地区共有 100人 参加疾病 普查 , 已知 每人血液呈阳性的概率 是 0.1,现在 采用两种方案进行血液化验 ：方案一 ： 逐一进行 化验 ; 方案二 ： 每 10人为
2、一组进行分组化验 .问哪一种方案最 优 ?例 1.应用 举例 分组检验问题N=100人 , p =0.1,方案一 ： 逐一进化验 ; 方案二 ： 分 10人一组化验 .解 易知采用第一种方案需化验 次现讨论第二种方案 ： 记随机变量 为一组所需的检验次数 ,的分布律为 ：10(0.9) 1PX = 10 11 1 ( 0.9 ) ,PX = = 10(0.9 ) ,=每组所需的平均检验次数 ：Xkp101 ( 0.9 )11110 10( ) 1 0.9 11 ( 1 0.9 )EX = + 1011 10 0.9= 7.51应用 举例 分组检验问题N=100人 , p =0.1,方案一 ：
3、逐一进化验 ; 方案二 ： 分 10人一组化验 .解 的分布律 X 1 11概率 0.910 1-0.910每组所需的平均检验次数 ： ( ) 7.51EX 方案二总检验次数 ： Z=+ + +1 2 10X X XiX，与 X同 分布所以方案二 优于 方案一 .= + + +1 2 10()E Z E X X X7.5110 75.1= =10 EX= iE X E X=工作量减少约 25%! 100应用 举例 分组检验问题若共有 人参加疾病 普查 , 每人 血液呈阳性的概率是 .现采用第二种 方案 , 应该 如何分组 才能工作量最小 ?方案二总检验平均次数 ：E Z XNk E= 1 ( 1 ) .kkkNk p= + 求最优分组人数( ) m i n .kEZkZE =即,k提 示应用 举例例 2. 求函数 2( ) ( ) h x E X x= 的最小值 。解 ： 2( ) ( ) h x E X x= 22( 2 )E X x X x= +22( ) 2 ( )E X x E X x= +222 ( ) ( )x E X x E X= +令 ： ( ) 0hx = ()x E X=又 ( ) 2hx = 0 ()x E X= 时 , h(x)取最小值。()x E X 22 ( ( ) ) ( ) X E X E X x
