1、第一部分 2016 高考题汇编导数1. 【2016 高考山东理数 】若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，()yfx则称 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）()yfx（A） （B） （C） （D）sinlnyxexy3yx【答案】A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算 、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系， 使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好
2、的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2.【2016 年高考四川理数】设直线 l1，l 2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P 2 处的切线，l 1ln,0,1x与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A，B ，则PAB 的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （ B）(0,2) （ C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】试题分析：设 （不妨设 ） ，则由导数的几何意义易得切线1122,ln,lnPxx12,01x的斜率分别为 由已知得 切线 的方程分别为12,l12,.k121221,.kx1l，切线 的方
3、程为 ，即 .分别令11lnyx2l 221lnyxx11lnyxx得 又 与 的交点为 ， ，011,ln,0l.AxBl22112,lP1， 故选 A21122PABBPxSy 0PABS考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点 坐标，由两直线相交得出 点坐标，从而求得面积，, P题中把面积用 表示后，可得它的取值范围解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论这也1x是我们解决问题的一种基本方法，朴实而
4、基础，简单而实用3.【2016 高考新课标 2 理数】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，ykxbln2yxln(1)yx则 b【答案】 1ln【解析】考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数 f(x)在点 x0 处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 yf(x) 上点 P(x0，y 0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy 0f (x 0)(xx 0)注意：求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的不同4.【2016 高考新课标 3 理数】已知 为偶函数，当 时， ，则曲线fx0x()ln3fxx在yfx点 处的切线方程是_ (1,3)【答案】 21考点：1、函数的
5、奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的 解析式”0x()yfx0有如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若 为奇函数，()fx()yfx()f则函数的解析式为 y5.【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点.221xfxea(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1,x2 是 的两个零点,证明： .f 12x【答案】 (0,)【解析】试题分析：(I) 求导 ,根据导函数的符号来确定 ,主要要根据导函数零点来分类；(II) 借组第一问的结论来证明,由单调性可知 等价于 ,即 设
6、 ,则12x12()fxf2()0fx2()()xxgee 则当 时, ,而 ,故当 时, 从而()()xge(0g110,故 学.科.网220xf12试题解析;（） ()()(2)x xfeaea（i）设 ,则 , 只有一个零点0axf（ii）设 ,则当 时, ；当 时, 所以 在 上单调递(1)()0x(1)()0fx()fx,1)减,在 上单调递增(1,)又 , ,取 满足 且 ,则(1)fe(2)fab0ln2ab,231()b故 存在两个零点()fx（iii ）设 ,由 得 或 0a()fxln(2)xa若 ,则 ,故当 时, ,因此 在 上单调递增又当 时,2eln1(0f()fx
7、1,)1x,所以 不存在两个零点()fx()fx若 ,则 ,故当 时, ；当 时, 因此eala(,ln2)xa()fx(ln2)a()0fx在 单调递减,在 单调递增又当 时, ,所以 不存在两个零()fx1n(2)10fx点综上, 的取值范围为 a(0,)（）不妨设 ,由（）知 , , 在 上单调递减,所12x12(,)(1)xx2(1)x(fx1)以 等价于 ,即 1212()ff0f由于 ,而 ,所以2()xfea22()(1)0xxea222(xx设 ,则 ()xgee 2()1()xge所以当 时, ,而 ,故当 时, 1(00g从而 ,故 22()xf12x考点：导数及其应用【名
8、师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.6.【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)已知 .21)ln,Rxfxaa（I）讨论 的单调性；()fx（II）当 时，证明 对于任意的 成立.1a3()2fx 1,2x【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求 的导函数，对 a 进行分类讨论，求 的单调性；()fx ()fx（）要证 对于任意的 成立，即证 ，根据单调性求解.32f 1,2x23/f（1） ， ，
9、20a1当 或 时， ， 单调递增；),(x),(0)(/xf)(f当 时， ， 单调递减；)2,1(a)(/xf)(f（2） 时， ，在 内， ， 单调递增；1x),0(0)(/xf)(f（3） 时， ，a20a当 或 时， ， 单调递增；),(xx),1(0)(/xf)(f当 时 ， ， 单调递减.x)1,2(a0)(/xf)(f综上所述，当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；0)(xf1, ),1(当 时， 在 内单调递增 ，在 内单调递减，在 内单调递增；2af,02,a),2(a当 时， 在 内单调递增；)(xf),当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.2a
10、f2,0a)1,2(a),1(（）由（）知， 时，1/ 223()ln()xfx x， ，23l,令 ， .1)(,l)( 32xxhxg ,则 ，/gf由 可得 ， 当且仅当 时取得等号.01)(/x)(g1x又 ，2436h设 ，则 在 单调递减，)(2xx)(x2,1因为 ，10)(,1所以在 上存在 使得 时， 时， ，2x),(0x)2,(,0)(0x0)(x所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，()h),02,由于 ，因此，当且仅当 取得等号，21,11)(hx2x所以 ，23)()(/gxf即 对于任意的 恒成立。3)(/f ,1x考点：1.应用导数研究函数 的单调性、极值；
11、2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.7.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）已知函数 .()(0,1,)xfabab设 .12,a（1）求方程 的根;()fx（2）若对任意 ,不等式 恒成立，求实数 的最大值；R(2)f(6fxmm（3）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 的值。
12、01ab gab【答案】 （1）0 4（2）1【解析】试题分析：（1）根据指数间倒数关系 转化为一元二次方程 ，求方程根2=1x 2()10xx根据指数间平方关系 ，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对2()x应函数最值，即 的最小值，最后根据基本不等式求最值（2）先分析导函数零点情况：唯()4fm一零点 ，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯一零点必在极值点 取得，而0x 0x，因此极值点 必等于零，进而求出 的值.本题难点在证明 ，0()2gfab0xab这可利用反证法：若 ，则可寻找出一个区间 ，由 结合零点存在定理可得0x12(,)12()0,g()x函数
13、存在另一零点，与题意矛盾，其中可取 ；若 ，同理可得.0,logax试题解析：（1）因为 ，所以 .12,ab()xf方程 ，即 ，亦即 ，()fxx210x所以 ，于是 ，解得 .2010由条件知 .222()()()xxf fx因为 对于 恒成立，且 ，26xmR0所以 对于 恒成立.2()4fx而 ，且 ，2() 4()2()fxffxx2(0)4f所以 ，故实数 的最大值为 4.4m下证 .0x若 ，则 ，于是 ，02x0()2xg又 ，且函数 在以 和 为端点的闭区间上的图象logllo(l)aaaagb()gx02loga不间断，所以在 和 之间存在 的零点，记为 . 因为 ，所以
14、 ，又 ，0xla()x11l20a0x所以 与“0 是函数 的唯一零点”矛盾.1()g若 ，同理可得，在 和 之间存在 的非 0 的零点，矛盾.0x02xloa()gx因此， .于是 ，故 ，所以 .ln1abln0b1ab考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数
15、.8.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）设函数 , ， 其中3()1fxaxbRba,(I)求 的单调区间；(II) 若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ；)(xf0x)(01xff01x1023x（）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 .a|)(|gg,4【答案】 （）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题解析：（）解：由 ，可得 .baxxf3)1( axf2)1(3)下面分两种情况讨论：（1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 .0a0)()2f )(f ),(（2）当 时，令 ，解得 ，或 .0a0)(xf 31ax31ax当 变化时，
16、， 的变化情况如下表：xff)31,(a)31,(a),31(a)xf 0 0 (单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .)xf )31,(a )31,(a),(（）证明：因为 存在极值点，所以由（）知 ，且 ，由题意，得)xf 00x，即 ，01(3) 20axf 3)1(20a进而 .bxbx)3又 baxxf 32)(8)2(2( 0000，且 ，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且)3xfa3x )(01xff，因此 ，所以 ；01x01 01（ ）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 两 数的最大值.下面分三种情况)(xg2,M,maxyx,同理：（1）当 时， ，由（）知， 在区间 上单调递减，所以3a31201a)(xf2,0在区间 上的取值范围为 ，因此)(xf2,0 )0(,f|1|21max|)(|ma| bffM|)(|,1| bb，所以 .0),(aa 2|1baM
