1、4 12F l o w K i n e m a t i c sT h is c h a p t e r e x p lo r e s s o m e o f t h e r e s u lt s t h a t m a y b e d e d u c e d a b o u t t h e n a t u r e o f a fl o w i n g c o n t i n u u m w it h o u t r e f e r e n c e t o t h e d y n a m ic s o f t h e c o n t i n u u m .T h e fi r s t t o p
2、 ic , fl o w li n e s , i n t r o d u c e s t h e n o t io n s o f s t r e a m li n e s , p a t h li n e s , a n d s t r e a k li n e s . T h e s e c o n c e p t s n o t o n ly a r e u s e f u l f o r fl o w -v is u a li z a t io n e x p e r i m e n t s b u t a ls o s u p p ly t h e m e a n s b y w
3、h ic h s o lu t io n s t o t h e g o v e r n i n g e q u a t io n s m a y b e i n t e r p r e t e d p h y s ic a lly .T h e c o n c e p t s o f c ir c u la t io n a n d v o r t ic it y a r e t h e n i n t r o d u c e d . A lt h o u g h t h e s e q u a n t it ie s a r e t r e a t e d o n ly i n a k i
4、 n e m a t ic s e n s e a t t h is s t a g e , t h e ir f u ll u s e f u l n e s s w ill b e c o m e a p p a r e n t i n t h e la t e r c h a p t e r s w h e n t h e y a r e u s e d i n t h e d y n a m ic e q u a t io n s o f m o t io n .T h e c o n c e p t o f t h e s t r e a m li n e le a d s t o
5、t h e c o n c e p t o f a s t r e a m t u b e o r a s t r e a m fi la m e n t . L ik e w is e , t h e i n t r o d u c t io n o f t h e v o r t ic it y v e c t o r p e r m it s t h e t o p ic o f v o r t e x t u b e s a n d v o r t e x fi la m e n t s t o b e d is c u s s e d . F i n a lly , t h is c
6、 h a p t e r e n d s w it h a d is c u s s io n o f t h e k i n e m a t ic s o f v o r t e x fi la m e n t s o r v o r t e x li n e s . I n t h is t r e a t m e n t, a u s e f u l a n a lo g y w it h t h e fl o w o f a n i n c o m -p r e s s ib le fl u id is u s e d . T h e r e s u lt s o f t h is s
7、 t u d y f o r m p a r t o f t h e s o - c a lle d H e l m h o lt z e q u a t io n s , w it h t h e r e m a i n i n g p a r t s b e i n g t a k e n u p i n t h e n e x t c h a p t e r , w h ic h d e a ls w it h , a m o n g o t h e r t h i n g s , t h e d y n a m ic s o f v o r t ic it y .2 . 1 F l o
8、 w L i n e sT h r e e t y p e s o f fl o w li n e s a r e u s e d f r e q u e n t ly f o r fl o w -v is u a li z a t io n p u r -p o s e s . T h e s e fl o w li n e s a r e c a lle d s t r e a m l i n e s , p a t h l i n e s , a n d s t r e a k l i n e s , a n d i n a g e n e r a l fl o w fi e ld ,
9、t h e y a r e a ll d if f e r e n t . T h e d e fi n it io n s a n d e q u a t io n s o f t h e s e v a r io u s fl o w li n e s w ill b e o b t a i n e d s e p a r a t e ly b e lo w .2 . 1 . 1 S t r e a m l i n e sS t r e a m li n e s a r e li n e s w h o s e t a n g e n t s a r e e v e r y w h e r
10、 e p a r a lle l t o t h e v e lo c -it y v e c t o r . S i n c e , i n u n s t e a d y fl o w , t h e v e lo c it y v e c t o r a t a g iv e n p o i n t w ill c h a n g e b o t h it s m a g n it u d e a n d it s d ir e c t io n w it h t i m e , it is m e a n i n g f u l t o c o n s id e r o n ly t
11、h e i n s t a n t a n e o u s s t r e a m li n e s i n t h e c a s e o f u n s t e a d y fl o w s .4 2 F u n d a m e n t a l M e c h a n i c s o f F l u i d sI n o r d e r t o e s t a b lis h t h e e q u a t io n s o f t h e s t r e a m li n e s i n a g iv e n fl o w fi e ld , c o n s id e r fi r s
12、t a t w o - d i m e n s io n a l fl o w fi e ld i n w h ic h t h e v e lo c it y v e c t o r u h a s c o m p o n e n t s u a n d v i n t h e x a n d y d ir e c t io n s , r e s p e c t iv e ly . T h e n , b y v ir t u e o f t h e d e fi n it io n o f a s t r e a m li n e , it s s lo p e i n t h e x
13、y p la n e , n a m e ly , d y / d x , m u s t b e e q u a l t o t h a t o f t h e v e lo c it y v e c t o r , n a m e ly , v / u . T h a t is , t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a m li n e i n t h e x y p la n e is ddyxvu= w h e r e , i n g e n e r a l, b o t h u a n d v w ill b e f u n c t io
14、n s o f x a n d y . I n t e g r a t io n o f t h is e q u a t io n w it h r e s p e c t t o x a n d y , h o ld i n g t fi x e d , w ill t h e n y ie ld t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a m li n e i n t h e x y p la n e a t t h a t i n s t a n t i n t i m e .I n t h e c a s e o f a t h r e e -
15、d i m e n s io n a l fl o w fi e ld , t h e f o r e g o i n g a n a ly s is is v a lid f o r t h e p r o je c t io n o f t h e v e lo c it y v e c t o r o n t h e x y p la n e . B y s i m ila r ly t r e a t i n g t h e p r o je c t io n s o n t h e x z p la n e a n d o n t h e y z p la n e , t h e s
16、 lo p e s o f t h e s t r e a m -li n e s a r e f o u n d t o b e ddzxwu= ddzywv= o n t h e x z a n d y z p la n e s , r e s p e c t iv e ly . T h e s e t h r e e e q u a t io n s d e fi n i n g t h e s t r e a m li n e m a y b e w r it t e n i n t h e f o r m d d d d d dyvxuzwxuzwyv= = = . W r it t
17、 e n i n t h is f o r m , it is c le a r t h a t t h e s e t h r e e e q u a t io n s m a y b e e x p r e s s e d i n t h e f o llo w i n g m o r e c o m p a c t f o r m : d d dxuyvzw= = . I n t e g r a t io n o f t h e s e e q u a t io n s f o r fi x e d t w ill y ie ld , f o r t h a t i n s t a n
18、t i n t i m e , a n e q u a t io n o f t h e f o r m z = z ( x , y ), w h ic h is t h e r e q u ir e d s t r e a m li n e . T h e e a s ie s t w a y o f c a r r y i n g o u t t h e r e q u ir e d i n t e g r a t io n is t o t r y t o o b t a i n t h e p a r a m e t r ic e q u a t io n s o f t h e c
19、u r v e z = z ( x , y ) i n t h e f o r m x = x ( s ), y = y ( s ), a n d z = z ( s ). E li m i n a t io n o f t h e p a r a m e t e r s a m o n g t h e s e e q u a t io n s w ill t h e n y ie ld t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a m li n e i n t h e f o r m z = z ( x , y ).4 3F l o w K i n e m
20、 a t i c sT h u s , a p a r a m e t e r s is i n t r o d u c e d w h o s e v a lu e is z e r o a t s o m e r e f e r e n c e p o i n t i n s p a c e a n d w h o s e v a lu e i n c r e a s e s a lo n g t h e s t r e a m li n e . I n t e r m s o f t h is p a r a m e t e r , t h e e q u a t io n s o f
21、t h e s t r e a m li n e b e c o m e d d ddxuyvzws= = = . T h e s e t h r e e e q u a t io n s m a y b e c o m b i n e d i n t e n s o r n o t a t io n t o g iv e ddf i x e dxsu x t tii i= ( , ) (2 .1 )i n w h ic h it is n o t e d t h a t if t h e v e lo c it y c o m p o n e n t s d e p e n d u p o
22、n t i m e , t h e i n s t a n t a n e o u s s t r e a m li n e f o r a n y fi x e d v a lu e o f t is c o n s id e r e d . I f t h e s t r e a m -li n e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t ( x0, y0, z0) is r e q u ir e d , E q u a t io n 2 .1 is i n t e -g r a t e d a n d t h e i n it
23、ia l c o n d it io n s t h a t w h e n s = 0 , x = x0, y = y0, a n d z = z0 a r e a p p lie d . T h is w ill r e s u lt i n a s e t o f e q u a t io n s o f t h e f o r m xi = xi ( x0, y0, z0 , t , s ) w h ic h , a s s t a k e s o n a ll r e a l v a lu e s , t r a c e s o u t t h e r e q u ir e d s
24、t r e a m li n e .A s a n illu s t r a t io n o f t h e d e t e r m i n a t io n o f s t r e a m li n e p a t t e r n s f o r a g iv e n fl o w fi e ld , c o n s id e r t h e t w o - d i m e n s io n a l fl o w fi e ld d e fi n e d b y u = x (1 + 2 t ) v = y w = 0 . F r o m E q u a t io n 2 .1 , t h
25、 e e q u a t io n s t o b e s a t is fi e d b y t h e s t r e a m li n e s i n t h e x y p la n e a r e ddxsx t= +( )1 2 ddysy= . I n t e g r a t io n o f t h e s e e q u a t io n s y ie ld s x = C1e(1 + 2 t ) s y = C2es 4 4 F u n d a m e n t a l M e c h a n i c s o f F l u i d sw h ic h a r e t h e
26、 p a r a m e t r ic e q u a t io n s o f t h e s t r e a m li n e s i n t h e x y p la n e . I n p a r -t ic u la r , s u p p o s e t h e s t r e a m li n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a r e r e q u ir e d . U s i n g t h e i n it ia l c o n d it io n s t h a t w h e n s =
27、 0 , x = 1 a n d y = 1 s h o w s t h a t C1 = C2 = 1 . T h e n , t h e p a r a m e t r ic e q u a t io n s o f t h e s t r e a m li n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a r e x = e(1 + 2 t ) s y = es. T h e f a c t t h a t t h e s t r e a m li n e s c h a n g e w it h t i m e i
28、s e v id e n t f r o m t h e p r e c e d -i n g e q u a t io n s . S u p p o s e t h e s t r e a m li n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a t t i m e t = 0 is r e q u ir e d ; t h e n , x = es y = es. H e n c e , t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a m li n e is x = y . T h i
29、s s t r e a m li n e is s h o w n i n F ig u r e 2 .1 t o g e t h e r w it h o t h e r fl o w li n e s , w h ic h a r e d is c u s s e d b e lo w .01234560 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0Pa thl ineStreamlineStreaklineyxF I G U R E 2 .1C o m p a r is o n o f t h e s t r e a m l i n e t h r o u g h t h e p o i
30、n t (1 , 1 ) a t t = 0 w it h t h e p a t h l i n e o f a p a r t ic le t h a t p a s s e d t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a t t = 0 a n d t h e s t r e a k l i n e t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a t t = 0 f o r t h e fl o w fi e ld u = x (1 + 2 t ), v = y , w = 0 .4 5F l o w K i n e
31、 m a t i c s2 . 1 . 2 P a t h l i n e sA p a t h li n e is a li n e t r a c e d o u t i n t i m e b y a g iv e n fl u id p a r t ic le a s it fl o w s . S i n c e t h e p a r t ic le u n d e r c o n s id e r a t io n is m o v i n g w it h t h e fl u id a t it s lo c a l v e lo c it y , p a t h li n
32、e s m u s t s a t is f y t h e e q u a t io n ddxtu x tii i= ( , ) . (2 .2 )T h e e q u a t io n o f t h e p a t h li n e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t ( x0, y0, z0) a t t i m e t = 0 w ill t h e n b e t h e s o lu t io n t o E q u a t io n 2 .2 , w h ic h s a t is fi e s t h e i
33、 n it ia l c o n d i-t io n t h a t w h e n t = 0 , x = x0, y = y0, a n d z = z0. T h e s o lu t io n w ill t h e r e f o r e y ie ld a s e t o f e q u a t io n s o f t h e f o r m xi = xi( x0, y0, z0, t ) w h ic h , a s t t a k e s o n a ll v a lu e s g r e a t e r t h a n z e r o , w ill t r a c e
34、 o u t t h e r e q u ir e d p a t h li n e .A s a n illu s t r a t io n o f t h e m a n n e r i n w h ic h t h e e q u a t io n o f a p a t h li n e is o b t a i n e d , c o n s id e r a g a i n t h e fl o w fi e ld d e fi n e d b y u = x (1 + 2 t ) v = y w = 0 . F r o m E q u a t io n 2 .2 , t h e
35、d if f e r e n t ia l e q u a t io n s t o b e s a t is fi e d b y t h e p a t h -li n e s a r e ddxtx t= +( )1 2 ddyty= . I n t e g r a t io n o f t h e s e e q u a t io n s g iv e s x = C1et (1 + t ) y = C2et. T h e s e a r e t h e p a r a m e t r ic e q u a t io n s o f a ll t h e p a t h li n e
36、s i n t h e x y p la n e f o r t h is p a r t ic u la r fl o w fi e ld . I n p a r t ic u la r , if t h e p a t h li n e o f t h e p a r t ic le t h a t 4 6 F u n d a m e n t a l M e c h a n i c s o f F l u i d sp a s s e d t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) a t t = 0 is r e q u ir e d , t h e s
37、 e p a r a m e t r ic e q u a t io n s b e c o m e x = et (1 + t ) y = et. E li m i n a t i n g t f r o m t h e s e e q u a t io n s s h o w s t h a t t h e e q u a t io n o f t h e r e q u ir e d p a t h li n e is x = y1 + lo g y. T h is p a t h li n e is s h o w n i n F ig u r e 2 .1 , f r o m w h
38、 ic h it w ill b e s e e n t h a t t h e s t r e a m li n e t h a t p a s s e s t h r o u g h (1 , 1 ) a t t = 0 d o e s n o t c o i n c id e w it h t h e p a t h -li n e f o r t h e p a r t ic le t h a t p a s s e d t h r o u g h (1 , 1 ) a t t = 0 .2 . 1 . 3 S t r e a k l i n e sA s t r e a k li n
39、 e is a li n e t r a c e d o u t b y a n e u t r a lly b u o y a n t m a r k e r fl u id t h a t is c o n t i n u o u s ly i n je c t e d i n t o a fl o w fi e ld a t a fi x e d p o i n t i n s p a c e . T h e m a r k e r fl u id m a y b e s m o k e (if t h e m a i n fl o w i n v o lv e s a ir o r s
40、 o m e o t h e r g a s ) o r a d y e (if t h e m a i n fl o w i n v o lv e s w a t e r o r s o m e o t h e r liq u id ).A p a r t ic le o f t h e m a r k e r fl u id t h a t is a t t h e lo c a t io n ( x , y , z ) a t t i m e t m u s t h a v e p a s s e d t h r o u g h t h e i n je c t io n p o i n
41、 t ( x0, y0, z0) a t s o m e e a r lie r t i m e t = . T h e n , t h e t i m e h is t o r y o f t h is p a r t ic le m a y b e o b t a i n e d b y s o lv i n g t h e e q u a -t io n f o r t h e p a t h li n e ( E q u a t io n 2 .2 ) s u b je c t t o t h e i n it ia l c o n d it io n s t h a t x = x0
42、, y = y0, a n d z = z0 w h e n t = . T h e n , a s t a k e s o n a ll p o s s ib le v a lu e s i n t h e r a n g e t , a ll fl u id p a r t ic le s o n t h e s t r e a k li n e w ill b e o b t a i n e d . T h a t is , t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a k li n e t h r o u g h t h e p o i n t (
43、x0, y0, z0) is o b t a i n e d b y s o lv i n g E q u a t io n 2 .2 s u b je c t t o t h e i n it ia l c o n d it io n s t h a t w h e n t = , x = x0, y = y0, a n d z = z0. T h is w ill y ie ld a n e x p r e s s io n o f t h e f o r m xi = xi ( x0, y0, z0, t , ). T h e n , a s t a k e s o n t h e v
44、a lu e s t , t h e s e e q u a t io n s w ill d e fi n e t h e i n s t a n -t a n e o u s lo c a t io n o f t h a t s t r e a k li n e .A s a n illu s t r a t iv e e x a m p le , c o n s id e r t h e fl o w fi e ld t h a t w a s u s e d t o illu s -t r a t e t h e s t r e a m li n e a n d t h e p a
45、t h li n e . T h e n , t h e e q u a t io n s t o b e s o lv e d f o r t h e s t r e a k li n e a r e ddxtx t= +( )1 2 ddyty= 4 7F l o w K i n e m a t i c sw h ic h i n t e g r a t e t o g iv e x = C1et (1 + t ) y = C2et. U s i n g t h e i n it ia l c o n d it io n s t h a t x = y = 1 w h e n t = ,
46、t h e s e e q u a t io n s b e c o m e x = et (1 + t ) (1 + ) y = et . T h e s e a r e t h e p a r a m e t r ic e q u a t io n s o f t h e s t r e a k li n e t h a t p a s s t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ), a n d t h e y a r e v a lid f o r a ll t i m e s t . I n p a r t ic u la r , a t t = 0
47、 , t h e s e e q u a -t io n s b e c o m e x = e (1 + ) y = e . E li m i n a t i n g f r o m t h e s e p a r a m e t r ic e q u a t io n s s h o w s t h a t t h e e q u a t io n o f t h e s t r e a k li n e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t (1 , 1 ) is , a t t i m e t = 0 , x = y1 lo
48、 g y. T h is s t r e a k li n e is s h o w n i n F ig u r e 2 .1 a lo n g w it h t h e s t r e a m li n e a n d t h e p a t h li n e t h a t w e r e o b t a i n e d f o r t h e s a m e fl o w fi e ld . It w ill b e n o t ic e d t h a t n o n e o f t h e t h r e e fl o w li n e s c o i n c id e .2 .
49、2 C i r c u l a t i o n a n d V o r t i c i t yT h e c i r c u l a t i o n c o n t a i n e d w it h i n a c lo s e d c o n t o u r i n a b o d y o f fl u id is d e fi n e d a s t h e i n t e g r a l a r o u n d t h e c o n t o u r o f t h e c o m p o n e n t o f t h e v e lo c it y v e c t o r t h a
50、 t is lo c a lly t a n g e n t t o t h e c o n t o u r . T h a t is , t h e c ir c u la t io n is d e fi n e d a s =u d 1 (2 .3 )w h e r e d 1 r e p r e s e n t s a n e le m e n t o f t h e c o n t o u r . T h e i n t e g r a t io n is t a k e n c o u n t e r c lo c k w is e a r o u n d t h e c o n
