1、第 6章 线性代数知识点应用案例选讲 Sixth Chapter行列式 应用案例选 讲例 1（向量积的表示）已知两个向量 与 x y zA a i a j a k x y zB b i b j b k，求这两个向量的向量积 .I基于行列式的按行按列展开公式，上式可表示为 x y zx y zi j kA B a a ab b b太好记了！解：根据向量积的定义及其运算规律可知( ) ( ) x y z x y zA B a i a j a k b i b j b k( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xa b a b i a b a b j a b a b k 有点
2、难记哦！例 2（矢量场的旋度）已知如下一个矢量场 ( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k r ot ( ) ( ) ( ) R Q P R Q PA i j ky z z x x y解：根据场论中的知识可知，一个矢量场在场中某一点处的旋度为求矢量场 中某一点 的旋度 .A( , , )M x y zrotAr oti j kAx y zP Q R 对于上面旋度公式，我们可以借助行列式表示如下注意了，这只是一种记法！乘 R 即 为 的一种表示yRy例 3（三角形面积）已知三角形 ABC 的顶点分别是 ， 1 1 1( , ,
3、)A x y z2 2 2( , , )B x y z和 ，求三角形 ABC 的面积 . 3 3 3( , , )C x y z解：根据向量积的定义，可知三角形 ABC 的面积为11S si n22ABC AB AC A AB AC 由于 ，因此2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1( , , ) , ( , , )AB x x y y z z AC x x y y z z 2 1 2 1 2 13 1 3 1 3 11S2ABCi j kx x y y z zx x y y z z 外面一层运算是向量模的意思哦！特殊 地，当三个顶点在同一平面上时，即当 时，1 2 3z z z2 1
4、 2 12 1 2 13 1 3 13 1 3 10 0 00i j kx x y yAB AC x x y y i j kx x y yx x y y 而利用加边法和行列式的性质，可知上面的二阶行列式21311 1 1 12 1 2 12 1 2 1 2 23 1 3 13 1 3 1 3 3110101rrrrx y x yx x y yx x y y x yx x y yx x y y x y 这样加边不改变行列 式的值哦！11S si n22ABC AB AC A AB AC 从而可得平面中三角形的面积公式为112 1 2 1223 1 3 1331111221xyx x y yxyx
5、 x y yxy如若三角形三个顶点的坐标为 A(1,2,3)， B(3,4,5) 和 C(2,4,7)，则该三角形的面积为1122331 0 0 111S 1 3 2 1 10221 1 6 1ABCxyxyxy 2 1 2 1 2 13 1 3 1 3 11 1 1S 2 2 2 4 6 2 142 2 2124ABCi j k i j kx x y y z z i j kx x y y z z 如若三角形三个顶点的坐标为 A(0,0)， B(-3,-2) 和 C(1,-6)，则该三角形的面积为1122331101xyxyxy这里，我们利用平面中三角形的面积公式很容易得到平面三点共线的充要条
6、件，即为 1 1 2 2 3 3( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y C x y进而又可以得到平面直角坐标系中过两点 的直线方程为1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y11221101例 4（向量混合积的表示）已知如下三个向量, x y z x y z x y zA a i a j a k B b i b j b k C c i c j c k用行列式表示出这三个向量的混合积 . y z x yxzx y zy z x yxzx y zi j ka a a aaaA B a a a i j kb b b bbbb b b解：基于例 1的介绍，有()A B C从而根据数量积的定义，可知三个向量的混合积为() x y zy z x yxzx y z x y zy z x yxzx y za a aa a a aaaA B C c c c b b bb b b bbbc c c这里用了行列式的展开原理哦！谢谢，再见！
