1、第1章 - 行列式FirstChapter行列式按行(列)展开VI如11 12 1321 22 2331 32 33aaaaaaaaa中元素 a23的余子式为11 122331 32aaMaa元素 a23的代数余子式为2323 23 231()A MM Aij= ( 1)i+jMij，称 Aij为元素 aij的 代数余子式 .剩下的 n1 阶行列式称为 aij的 余子式 ，记为 Mij；令定义：在 n 阶行列式中，把元素 aij所在的第 i行和第 j列划去后，引理： 一个 n 阶行列式中，如果第 i 行所有元素除 aij外均为0，11 2 212(,)i i i i in inD aA aA
2、aA i n 或11 2 212(,)j j j j nj njDaA aA aA j n 证11 12 11212000 000nii innn naa aaa aDaa a .ij ijD aA则有定理： 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11 12 1 11 12 1 11 12 112 12 12000 0 00nn nii in n nn n n nn n n nnaa a aa a aa aaa a aa a aa a 由引理可得 11 2 212(,)i i i i in inD aA aA aA i n 类似可得11 2 212(,)j j j
3、 j nj njDaA aA aA j n 注 ：此定理称为行列式按行(列)展开法则，利用此法则和行列式性质相结合，可将高阶行列式化为低阶行列式，从而简化行列式的计算.推论： 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11 2 20 ()ij ij injnaA aA aA i j 或11 2 20 ()ij ij ninjaA aA aA i j 证 由行列式展开法则，按第 j行展开有11 1111 2 211 niinj jjj jnjnjjnnnnaaaaD aA aA aAaaaa 将行列式 D 中元素 ajk换为 aik(k=1,2,n)，有因此，有11 2 20i j i j in jnaA aA aA i j(). 同理，有11 2 20i j i j ni njaA aA aA i j(). 11 1111 2 211niini j i j in jniinnnnaaaaaA aA aAaaaa 第 i行第 j行谢谢，再见！
