1、大帝教育 www.dd-初中数学知识点：圆的知识点总结圆的定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。圆的相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为 r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为 d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意
2、两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于 180 度的弧，劣弧是小于 180 度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用 表示，=3.14159265在实际应用中，一般取 3.14。 11 圆
3、周角等于相同弧所对的圆心角的一半。12 圆是一个正 n 边形（ n 为无限大的正整数） ，边长无限接近 0 但不等于 0。圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。圆的字母表示：以点 O 为圆心的圆记作 “O ”，读作 O”。圆 ； 半径r 或 R（在环形圆中外环半径表示的字母） ；弧 ；直径d ；扇形弧长L ；周长C ；面积S。大帝教育 www.dd-圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 2 条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂
4、直于弦，并且平分弦所对的 2 条弧。（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧） 。直径所对的圆周角是直角。90 度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式： =(L/2r)360 =180L/r=L/r(弧度)。即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 如果一条弧的长是另一条弧的 2 倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的 2倍。（3）有关外接圆和内切
5、圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。R=2S L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L ：三角形周长） 。两相切圆的连心线过切点。 （连心线：两个圆心相连的直线）圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于X，Y，则 M 为 XY 之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之
6、和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。点、线、圆与圆的位置关系：点和圆位置关系P 在圆 O 外，则 POr。P 在圆 O 上，则 PO=r。P 在圆 O 内，则 0POr。直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB 与O 相交，dR+r；外切P=R+r；内含 P0）的圆的标准方程为 x2+y2=r2。2、圆的一般方程：方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 可变形为（ x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：当 D2+E2-4F0 时，方程表示以 (-D/2,-E/2)为
7、圆心，以（D2+E2-4F）/2 为半径的圆；当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点（ -D/2，-E/2 ） ；当 D2+E2-4FR+r（没有交点）两圆外切 d=R+r （有一个交点，叫切点）两圆相交 R-rr） (有一个交点,叫切点)两圆内含 dr）(没有交点 )两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点 AB 与O 相交
8、，dr。 （d 为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质：大帝教育 www.dd-（1）数量法：通过比较圆心 O 到直线距离 d 与圆半径的大小关系来判定，如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有：直线 l 与O 相交 dr；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。直线 l 与O 相交 dr 无公共点 。圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆
9、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的位置关系判断一般方法是：1.由 Ax+By+C=0，可得 y=（-C-Ax）/B， （其中 B 不等于 0） ，代入 x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于 x 的方程如果 b2-4ac0，则圆与直线有 2 交点，即圆与直线相交。如果 b2-4ac=0，则圆与直线有 1 交点，即圆与直线相切。如果 b2-4acx2 时，直线与圆相离；当 x1r 点 P 在O 外。大帝教育 www.dd-圆心角定理:圆心角的度
10、数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 1的角（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，这时，把每一份这样得到的弧叫做 1的弧（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2) 两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径 COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和
11、来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。 （不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。 ） 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别: 点是圆心；两条边都与圆周相交。
