1、第 8章 平面与立体 相交 8.1 回顾与思考 8.2 平面与平面体相交 8.3 平面与回转体 相交（一） （一般方法、圆柱的截切） 8.4 平面 与回转体 相交（二） （圆锥和 圆 球的截切） 8.5 应用 实例 8.6 本章 小结 本章内容 知识 点 8.1 回顾 与思考 基本体 平面基本体 曲面基本体 回顾 知识点 8.1 回顾 与思考 1.如何构建更加复杂的形体？ 2.如何表达复杂形体？ 截切、相贯、叠加、拉伸、旋转 对“截切”形成的复杂形体而言，从“截交线”入手。 思考 2个 问题 知识点 8.1 回顾 与思考 几个术语 平面与立体相交，截去立体的一部分叫 截切（或截交） 。 用以截
2、切立体的平面叫 截平面 。截平面与立体表面的交线叫 截交线 。 因截平面的截切，在立体上形成的平面叫 截断面 。 切入点：截交线的分析和作图 。 立体被截切后如何表达？ 知识点 8.1 回顾 与思考 观察几个形体 车刀 顶尖 螺钉头 压块 连杆头 知识点 8.2 平面与平面体相交 知识点 8.2 平面与平面体相交 8.2.1 基本形式 截交线是由直线组成的 封闭平面多边形 ，其形状取决于平面体的 形状及截平面对平面体的截切位置。 截交线的每条边是 截平面与棱面的交线 。 截交线的性质： 截交线是截平面与平面立体表面的共有线。 求截交线的实质 是 求 两平面的 交线 知识点 8.2 平面与平面体
3、相交 8.2.2 平面截切体的画图 求截交线的两种方法： 求 各棱线与截平面的交点 棱线法 。 求 各棱面与截平面的交线 棱面法 。 如何正确地画出截交线的 投影？ 求截交线的步骤： 空间分析 平面体的形状、 截平面与体的相对位置。 画出截交线的投影 -用棱线法或棱面法 求出交线。 投影分析 -截平面与投影面的相对位置。 确定截交线的空间 形状 确定截 交线的 投影 特性 知识点 8.2 平面与平面体相交 8.2.2 平面截切体的画图 例题 分析 例 1： 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 3 2 1 (4) 1 2 4 3 1 2 4 空间分析 3 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 检查
4、 尤其 注意检查截交线投影的类似性 棱线 法 知识点 8.2 平面与平面体相交 8.2.2 平面截切体的画图 例题 分析 例 2： 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 注意 当 平面体被多个平面截切时，要针对每个截平面进行分析，分别求出截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。注意两个截平面之间的交线。 1 2 1 (2) 2 1 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） （一般方法、圆柱的截切） 知识点 8.3 平面与回转体 相交（一） 8.3.1 基本形式 截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的 共有线。 截交线的形状取决于 回转体表面的形状 及 截平
5、面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是 封闭的平面图形。 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 8.3.2 求回转体截交线的一般步骤 1.空间分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置， 确定 截交线的空间形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确 截交线的投影特性。 3.画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。 先找特殊点，补充中间点。 2.投影分析 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 8.3.3 圆柱的 截切 截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 圆 椭圆 平行 两平行直线 /矩形 倾斜 PV
6、PV PV 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 例题 分析 例 1： 求左视图 空间 分析 求 截交线 分析 圆柱体轮廓线的投影 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 解题步骤： 同 一立体被多个平面截切时，要对每个截平面进行截交线的分析和作图。 投影 分析 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 例题 分析 例 2： 求左视图 注意 截 平面与圆柱的外表面和孔的内表面都相交，均产生截交线，需要依次分别画出。 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 例题 分析 例 3： 求左视图 投影分析： 截交线的已知投影？ 侧面投影？ 找 特殊点 补充 中间点 光滑 连接各点 分析 轮廓素线
7、的投影 空间分析： 截交线的空间形状？ 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 例题 分析 例 3： 求左视图 投影分析： 截交线的已知投影？ 侧面投影？ 找 特殊点 补充 中间点 光滑 连接各点 分析 轮廓素线的投影 空间分析： 截交线的空间形状？ 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 分析一下： 截平面与圆柱体轴线的夹角发生变化时，对截交线有什么影响？ 椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而 改变 当 截 平面与圆柱轴线成 45 时， 截 交线的侧面 投影 为圆 观察与 分析 知识点 8.3 平面与回转体相交（一） 例 4： 求左视图 虚实分界点 例题 分析 知识点 8.4 平面与
8、回转体相交（二） （圆锥和圆球的 截切） 知识点 8.4 平面与回转体 相交（二） 8.4.1 圆锥的 截切 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状 圆 PV = 90 PV 椭圆 90 抛物线 PV = 双曲线 PV = 0 或 过锥顶 两相交直线 PV 知识点 8.4 平面与回转体相交（二） 例 5： 圆锥被正垂面截切， 求截交线，并完成三视图 空间分析 投影分析 找特殊 点 如何确定椭圆另一根轴的端点？ 补充 中间点 光滑 连接各点 分析 轮廓线投影 例题 分析 作图步骤 知识点 8.4 平面与回转体相交（二） 例 5： 圆锥被正垂面截切， 求截交线，并完成三视图 空间分析
9、 投影分析 找特殊 点 如何确定椭圆另一根轴的端点？ 补充 中间点 光滑 连接各点 分析 轮廓线投影 知识点 8.4 平面与回转体相交（二） 8.4.2 圆球 的截切 平面与圆球相交， 截交线的形状都是圆 ，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其 截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线 。 知识点 8.4 平面与回转体相交（二） 例 6： 求半球体截切后的俯视图和左视图 水平面截切圆球时，截交线的投影在侧视图上积聚为 直线 ，在 俯视图上为部分 圆弧。 两个侧平面截切圆球时，截交线的投影在俯视图上积聚为直线，在 侧视图 上为部分圆弧。 例题 分析 知识点 8.4 平面与回转体相交（二） 例
10、 6： 求半球体截切后的俯视图和左视图 两个侧平面截切圆球时，截交线的投影 在俯视图 上积聚为直线，在侧视图上为部分圆弧。 知识点 8.5 应用实例 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们之间的连接 关系。 然后，分析截平面与回转体轴线的相对位置，研究截交线的空间形状和投影特性。最后， 分别 求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接，注意 连接处的正确作图。 知识点 8.5 应用实例 8.5.1 应用实例一 ：复合回转体的截切 例 7： 求作一种铣床用顶尖的俯视图 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们之间的连接关系， 然后， 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
11、注意连接处的正确作图。 知识点 8.5 应用实例 例 7： 求作一种铣床用顶尖的俯视图 8.5.1 应用实例一 ：复合回转体的截切 知识点 8.5 应用实例 半缺固定顶尖 精密轻型回转顶尖 外旋式数控回转顶尖 知识点 8.5 应用实例 8.5.2 应用实例：来自最新科研成果的案例 nature 知识点 8.5 应用实例 例 8： 四棱柱被平面 ABC截切后的 投影（拓展内容） (d )a c (b) a (c) b a b (c) M F D E C A B m m d e e e f f f (d ) 解题 过程充分利用了平行直线的投影 特性和 平面内取点取线的作图方法 P p p p 类似
12、图形 M F D E C A B 知识点 8.6 本章小结 知识点 8.6 本章 小结 一、 平面体 的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的 平面多边形 ，多边形的边是截平面与棱面的交线。 求平面体截交线 的步骤： 空间分析 投影分析 画出截交线 求 平面体截交线的方法： 棱线法 棱面法 注意分析平面体棱线的投影。 二、 回转体 截交线的形状取决于 回转体表面的形状及截平面 与回转 体轴线的相对位置。 截 交线是截平面与立体表面的 共有 线， 截 交线的形状取决于被截切的立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。 知识点 8.6 本章 小结 当截交线的投影为非圆曲线时， 先找特殊点 ， 再补充中
13、间 点 ，最后光滑连接各点。注意分析回转体轮廓线的投影。 求截交线 三、 回转体 截切的作图方法 空间分析 投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置， 确定截交线的 空间形状 。 分析截平面与投影面的相对位置， 确定截交线的 投影特性 。 知识点 8.6 本章 小结 三、 回转体 截切的作图方法 当 单体被多个截平面截切 时，要针对每个截平面进行截 交线的分析与作图。当只有 局部被截切 时，先按整体被 截切求出截交线，然后再取局部 。 求 复合回转体 的截交线，应首先分析复合回转体由哪些 基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这 些基本回转体的截交线，并依次将其 连接， 注意连接 处 的 正确作图 。 当截平面与回转体的 外表面 和孔的 内表面 都相交时， 与 内 外表面都产生截交线，需要依次 分别 画出。 谢谢大家！
