1、概率论与数理统计二维连续型随机变量二维 连续型 随机变量及概率密度1目录 二维 均匀分布2二维 正态分布3二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布1 二维连续型随机变量定义 ( ) ( ) ( )xP X x F x f t dt = = 对于二维随机变量 (X,Y) 的分布函数 F(x, y) ,若存在非负函数 f (x, y) , 对任意的 x, y有 ： ( , ) , F x y P X x Y y= =( , )xy f u v du dv 则称 (X,Y) 是二维连续型随机变量， f (x,y)为 (X,Y) 的概率密度，或称 X 和 Y 的联合概率密度。二维连续型随机
2、变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布2 概率密度的性质1234( ) 0fx ( ) 1f x dx = 211 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )xxP x X x F x F x f x dx = = ( ) ( )F x f x =性质 1 ( , ) 0f x y 性质 2 ( , ) 1f x y dx dy+ + =证明：( , ) , ( , )xyF x y P X x Y y f u v du dv = = ( , ) ( , )F f u v du dv+ + + + = 1= xz y1二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布2 概率密度的性质1234
3、( ) 0fx ( ) 1f x dx = 211 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )xxP x X x F x F x f x dx = = ( ) ( )F x f x =性质 1 ( , ) 0f x y 性质 2 ( , ) 1f x y dx dy+ + =性质 3 ( , ) ( , )xyF x y f u v du dv = 若 f (x,y) 在点 (x, y) 处连续 , 则 ：2 ( , )( , )F x y f x yxy =二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布2 概率密度的性质1234( ) 0fx ( ) 1f x dx = 211 2 2
4、1( ) ( ) ( ) ( )xxP x X x F x F x f x dx = = ( ) ( )F x f x =性质 4 设 G 是 XOY 平面上的一个区域 , 则点 (X,Y)落在 G 内的概率为 : ( , )( , )GP f x y dx dyG yx = 二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布设 G 是 XOY 平面上的一个区域 , 则点 (X,Y)落在 G 内的概率为 : ( , )( , )GP f x y dx dyG yx = 性质 4 证明思路： 1 首先假设 G为矩形区域 ,G=(a,b(c,d ( , ) , cx y G a X b Y dP
5、P = ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F b d F a d F b c F a c += ( , )bdf u v du dv ( , )adf u v du dv ( , )bcf u v du dv + ( , )acf u v du dv = ( , )bdaf u v du dv ( , )bcaf u v du dv = ( , )bdacf u v du dv= ( , )Gf x y dx dy证明略 ( , ) ( , )xyF x y f u v du dv = 二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布设 G 是 XOY 平面上的一个区域 , 则
6、点 (X,Y)落在 G 内的概率为 : ( , )( , )GP f x y dx dyG yx = 性质 4 证明思路： 1 首先假设 G为矩形区域 ,G=(a,b(c,d ( , ) , cx y G a X b Y dPP = ( , )Gf x y dx dy2 y0 x分割越来越细 ，每个区域可以用多个矩形及其极限状态来逼近证明略再利用结论 和二重积分的性质1二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布设 G 是 XOY 平面上的一个区域 , 则点 (X,Y)落在 G 内的概率为 : ( , )( , )GP f x y dx dyG yx = 性质 4 在几何上 z = f
7、 (x , y) 表示空间的一个曲面，这个概率可以用分布函数 F(x, y)计算吗？xz y则 P(X,Y)G的值等于以 G 为底 , 以曲面z = f (x , y)为顶的曲顶柱体的体积 .x yzO G二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布注 : 当 G是 矩形区域 时 , 这个概率还可用 F(x, y)计算。(X, Y )落在矩形区域 : 1 2 1 2,x x x y y y 的概率为 : 1 2 1 2( , )P x X x y Y y 22( , )F x y= 21, )y 12( , )F x y 11( , )F x y+二维连续型随机变量及概率密度二维正态分
8、布二维均匀分布设二维随机变量 (X,Y )的密度函数为例 1( )( )34 0, 0, 0 xyc e x yf x y+ = 其它(1)求常数 c;(2)(X,Y )的联合分布函数 ;(3)求 0 1 , 0 2 .P X Y 解： (1)由密度函数的性质 , 得( )1, f x y dxdy+ + = 二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布( )1, f x y dxdy+ + = ( )3400 xyc e dxdy+ + += 34xyc e dx e dy+ + =12c= ( )( )34 00,0 xyc e x yf x y+ = ，其它所以 ,12.c =
9、( )( 2 ) ,F x y( ),yxf u v dv du = 当 0 x 或0y 时 ,( ),0F x y = ；xy 0, 0 xy二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布二维均匀分布( )( )3412 0 0,0 xye x yf x y+ = ，其它当 0 x 且0y 时 , ( ),F x y( ),yxf u v dv du = ( )340012yxuvdu e dv+= 3412yxuve du e dv=( ) ( )11 xyee= ( )( ) ( )341 1 0 0,0 xye e x yF x y = ，所以 ,其它二维连续型随机变量及概率密度二维正态分布
10、二维均匀分布( )( )3412 0 0,0 xye x yf x y+ = ，其它( ) ( ) ( )341 1 0 0,0 xye e x yF x y = ，其它(3) 0 1 , 0 2P X Y ( )0 1 0 2=,xy f x y dxdy ，( )12340012 xydx e dy+= 12340012 xye dx e dy=( ) ( )3811ee= 0 1 0 2P X Y ，f (x)0 x21（ 1,2）也可以用分布函数 F(x, y)计算 (1 , 2 )F= ( , 0 ) (0, 2 )F+ (0, 0 )F ) ( )3811ee= 二维均匀分布 二维
11、正态分布二维连续型随机变量及概率密度xz y ( , )f x y回顾一维均匀分布 , X U a bf (x)0 x1f (x)0 xa b1ba1()0a x bfxba = 其它二维均匀分布1xz yD( , ) ?f x y =( , )f x y = ( , )x y D0( , )1()SD二维均匀分布 二维正态分布二维连续型随机变量及概率密度1 二维均匀分布设 D是平面上的有界区域 , 其面积为 A如果二维随机变量 ( X,Y )的密度函数为( , )f x y = ( , )x y D0( , )x y 1A则称二维随机变量 ( X,Y )服从区域 D上的均匀分布 .二维均匀分
12、布 二维正态分布二维连续型随机变量及概率密度二维均匀分布的概率背景如果二维随机变量 ( X,Y )服从区域 D上的均匀分布 , 则 ：1)我们可以认为随即点 ( X,Y )只落在区域 D内 ;2)落在 D内任一子区域 D1内的概率 1 ( , ) P X Y D1= ( , )Df x y dxdy11=()D dxdySD1()= ()SDSDxDy1D2D与 D1的面积成正比 ,而与 D1的形状以及 D1在 D中的位置无关。cf (x)0 xa bc+l = lP c X c l ba + 二维正态分布二维均匀分布二维连续型随机变量及概率密度一维正态分布f (x)x二维正态分布xz y设二维随机变量 (X,Y )的密度函数为( )( )( ) ( ) ( ) ( )212221 1 2 22221 1 2 21,2121 e x p21f x yrx r x y yr = + 称 (X, Y) 服从 二维正态分布 , 记( ) ( )221 2 1 2,X Y N r ， ， ， ，( )1 , 2 ,i i + =( )0 1 , 2 ,i i =1 1.r
