1、第5章递归5.3回溯法算法设计技术回溯 通过搜索状态空间树来求问题的可行解或者最优解的过程 可行解：满足约束条件 最优解：目标函数取得最大或者最小值 使用约束函数或界限函数来压缩实际生成的状态空间树的结点个数 通常回溯法是未了找出满足约束条件的所有可行解问题的解空间 回溯法要求问题的解向量具有n元组（x0,x1,xn-1）形式 显示约束：对每个Xi取值的约束 隐式约束：给出一个判定候选解是不是可行解的条件状态空间树 描述问题解空间的是树型结构 树中每一个结点都是一个问题的状态 若从根到树中某个状态的路径代表一个候选解的元组，则称该状态为解状态 若从根到树中某个状态的路径代表一个可行解的元组，则
2、称该状态为答案状态回溯法 在求解的过程中，以深度优先方式逐个生成状态空间树中的结点，求问题的可行解或最优解 为提高搜索效率，在搜索过程中用约束函数和界 函数 不 要的搜索 树， 问题求解 要 生成的状态空间树结点数， 效搜索 回溯法对解空间 深度优先搜索， 在一 用递归方法 回溯八皇后问题八皇后问题 一个 的 个 得的currency1个间“不fi fl的currency1个不可 行 求出一 方法，或求出 有 方法QQQQQQQQ123456781 2 3 4 5 6 7 888 chessboard解向量 解向量（x0,x1,xn-1）其中xi表 i 的 所 的行 ， （6,4,7,1,8,
3、2,5,3） 约束 i 0,1, 行 约束 不 一 解空间 n QQQQQQQQ123456781 2 3 4 5 6 7 8四皇后问题解空间状态树 结点序号是深度优先遍历过程访问的顺序 边上标号是每一列皇后的选择行号 候选解是从根到叶子结点的路径12 503418 X1=115121o75 17 31 33282623211383292419 454035 6156511411964 16 30 32272522202 34 X2=2 3 4 1 3 41 241 23X3=311 43 42 32 43 44 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 x4=11结点到5结点路径上（1，2，3
4、，4）是一个候选解四皇后问题解空间状态树12 503418 X1=115121o75 17 31 33282623211383292419 454035 6156511411964 16 30 32272522202 34 X2=2 3 4 1 3 41 241 23X3=311 43 42 32 43 44 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 x4=11结点到5结点路径上（1，2，3，4）是一个候选解第2列上的皇后，符合显示约束状态空间树的遍历方法 搜索解 案 是 状态空间树 结点状态 结点：”的结点， 有 点 点： 有 点的点 点：一个结点，在搜索 的 点递归回溯算法框架由于回溯是对解
5、空间进行深度优先搜索所以一般情况下会采用递归方法 in in 每一个x 得x 是状态 的一个 结点 x 1 ,x x 约束函数为 i （x 1 ,x x ）是一个可行解 出x 1 ,x x ；n （ 1） i 状态 有 结点“不是 状态， 回 一用 非递归回溯算法框架也可以采用迭代算法求解效率更高 in in in 0 i 0 i 的x 得x 是状态 的一个 结点 x 1 ,x x 约束函数为 i （x 1 ,x x ）是一个可行解 出x 1 ,x x ； - 剪枝的重要性 8 有过281,474,976,711,000候选解 currency1 可行的候选解， 是到所有选“都fifl 解是可
6、行 的8 状态树 约有16,000个候选解 12个解（ 称，则为92个）8皇后求解策略(a) 前5个女王不能互相攻击，但第6列所有位置安放第6个皇后都会受，然后再次考虑第5到攻击；(b) 所以需要回溯到第5列，为第5个皇后尝试另一个位置；(c) 第5个皇后尝试失败，继续回溯到第4列尝试为女王做另一个选择列皇后的安放8皇后问题：- 8皇后放在棋盘上，以使任何皇后都不能攻击其他皇后。- 显示约束：每一列皇后不在一行- 隐式约束：不在一个正反对角线上Q8皇后问题const int BOARD_SIZE = 8; / squares per row or columnclass EightQueens
7、 public:EightQuens();/ Sets all squarestoEMPTY.voidclearBoard(); / Sets all squarestoEMPTY.voiddisplayBoard(); / Displays theboard.boolplaceQueens(intcurColumn);/ Places queens in columns of the board beginning at column specified./ Precondition: Queens are placed correctly in columns 1 through/curr
8、Column-1 and no Queens are placed in columns currColumn through/ BOARD_SIZE./ Postcondition: If a solution is found, each column of board contains one/ queen and the function returns true otherwise returns false (no solution/ exists for a queen anywhere in column currColumn).8皇后问题类的定义与实现private:intb
9、oardBOARD_SIZE; / row-position per column, (zero=no queen)/ NOTE: board is zero-indexed for columnsvoidsetQueen(introw, intcolumn);/ Places a queen in a given row and column. / Postcondition: There is exactly one queen in the given column.voidremoveQuen(introw, intcolumn);/ Removes a queen from a gi
10、ven row and column. / Postcondition: There is no queen in the given column.boolisUnderAttack(introw, intcolumn);/ Determines whether the square on the board at a given row and columnis under attack by any queen in any column./ Precondition: Queens are placed correctly, i.e. 0=boardi=8 for 0=i BOARD_
11、SIZE) return true; / base caseelse bool queenPlaced= false;int row = 1; / number of square in columnwhile ( !queenPlaced& (row = BOARD_SIZE) ) / if square can be attackedif (isUnderAttack(row, curColumn)+row; / then consider next square in currColumnelse / else place queen and consider next columnse
12、tQuen(row, curColumn);queenPlaced= placeQueens(curColumn+1); / if no queen is possible in next column, /backtrack: remove queen placed earlier and try next square in column if (!queenPlaced) removeQuen(row, curColumn);+row;/ end of while return queenPlaced;/ end placeQueens迷宫问题 示的 每一个 - - 出发出 的 采用回溯
13、法解决问题入口出口入口出口1，（1，1），32，（1，2），33，（1，3），4入口出口迷宫问题的算法思想/初始化工作栈，迷宫入口坐标和”E”方向首先进栈。/初始化mark为0，markij=0，表示该位置未走/过。每当一个位置走过，markij=1。防止走2次。while ( 栈非空) ( i, j, dir) = 从栈顶退出的坐标和方向;while( 还有移动) (g, h) = 下一移动的坐标;if ( g = m & h = p ) 迷宫(!Mazegh & !markgh)搜索成功; /出口if /合法的移动markgh = 1;dir= 下一次将要移动的方向;(i, j , dir
14、) 进栈;i= g; j = h; dir= N; i p in m, in p m 1 1 1 / 1, 1 是 S i m m p /设 工作栈i m mp mp.x 1 mp.y 1 mp.i E . Pu mp i ! .I Emp y mp .P p in i mp.x in j mp.y in mp.i i in g i m . in j m .bif ( g = = m & h = = p )cout st;cout i “” j endl;cout m “” p endl;return;if ( !Mazegh & !markgh ) markgh = 1;tmp.x = i; tmp.y = j; tmp.dir = d + 1;st. Push( tmp );i = g; j = h; d = 0;else d +;cout “No path in Maze” endl;
