1、第五节 两个随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 小结,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布?,引言,例1 若 X、Y 独立，PX=k=ak , k=0 , 1 , 2 , PY=k=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,由独立性,一、 的分布,离散型情形,解 依题意,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布
2、, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布。,r = 0 , 1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,一般情形,则 是一维的离散型随机变量,其分布列为,例2 设 的联合分布列为,分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布律,解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列为,例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,连续型情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变
3、量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式。,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,例4设随机变量与相互独立，都服从区间（0，1）上的均匀分布，令，求随机变量的概率密度。,解由题意，可知,例 5（续）,当 时，,（1）若,同样,（2）若,则,于是,从而,则,从而,当 和 时，,从而,若,且,所以,综上所述，可得 函数为,
4、（3）若,且,所以,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形。,一般地， 若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,如果随机变量相互独立,又为实常数,令,则,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量
5、，它们的分布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:,1. M = max(X,Y) 的分布函数,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为:,设 X1,Xn
6、是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i = 1, , n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,补充例 设 的联合分布列为,求(1) ；(2) 的分布律,解,因为,所以，U可能的取值为0,1,即 的分布律为,同样，,所以，V可能的取值为-2，-1，0，1,即 的分布律为,例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并
7、联, (iii)备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i) 串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X 的概率密度为,所以 X 的分布函数为,当 x 0 时 ,当 x 0 时 ,故,类似地 ,可求得 Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii) 并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii) 备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,作业 P94 习题三之 3.23重做例3.27,
