数论与有限域-第一章.ppt-道客多多

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1、第一章整数与同余,第一节整数,一、相关记号二、最小整数公理三、整除的定义及性质,一、相关记号,以后，如果没有特别声明，将用大写英文字母Z表示由所有整数构成的集合； Z表示由所有正整数构成的集合；小写英文字母a, b, c, d, 表示整数，特别地当几个小写英文字母在一起时，表示将这几个整数相乘，例如ab=ab, abc=abc；当n是一个大于l的正整数时，an表示由n个相同的整数a相乘所得的积；用记号|a|来表示整数a的绝对值，即例如|2|-2|2。,二、最小整数公理,最小整数公理（良序性）：每个正整数集的非空子集中都存在着一个最小的正整数。注：虽然正整数集合具有良序性，但是由于许多整

2、数的子集中都不具有最小值，因而由所有整数构成的集合Z并不具有良序性。例如所有负整数构成的集合以及所有小于200的偶数构成的集合。,三、整除的定义及性质,在整数范围内，我们知道整数+整数=整数；整数-整数=整数；整数整数=整数。但是整数除整数却不一定得整数，究竟什么样的整数除什么样的整数才能得到整数呢？,三、整除的定义及性质,定义1.1.1：设a，b是两个给定的整数且a0。如果存在整数c使得b=ac，则称a整除b，记为a|b，有时也称a是b的因子（或因数），b是a的倍数；反之，若找不到这样的整数c，则称a不整除b，记为ab。例如：易知3|6，而35，同时6的因子分别为 1, 2, 3, 6

3、。,三、整除的定义及性质,定理1.1.1 若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。证明：若a|b且b|c，则由定义1.1.1知道存在整数e和f使得b=ae且c=bf，于是c=bf=(ae)f=a(ef) 由于整数e与f的乘积仍然是整数，因而a|c。例如：由于11|66且66|198，由定理1.1.1就有11|198。,三、整除的定义及性质,定理1.1.2 设整数a，b，c满足条件c|a且c|b，则m, nZ，都有c|(ma+nb)。证明：由于c|a且c|b，知存在整数e，f使得a=ce，b=cf，进而ma+nb=mce+ncf=c(me+nf) 由于me+nf仍然是整数，因而c|(m

4、a+nb)。例如：由于3|21且3|33，由定理1.1.2就有3|(521-333)，即3|6。,三、整除的定义及性质,定义1.1.2 一个大于1的正整数，若只能被1和其本身整除，而不能被其他正整数整除，则称其为素数(或质数)，通常记为p或p1, p2, p3, 。例如：2，3，5，7，11，13，都是素数。定义1.1.3 大于1的不是素数的自然数称为合数。例如：4，6，8，9，10，12，都是合数。注：约定1不是素数。全体正整数可分为三类：l，全体素数以及全体合数。,第二节整数的进位计数制表示法,一、带余数除法二、整数的进位计数制表示法三、数制转换,一、带余数除法,定理1.2.1(带

5、余数除法) ：设a是正整数，b是整数，则一定存在唯一的整数q和r，使得b=qa+r，其中0ra，并分别称q与r为a 除b的商和余数。证明：“唯一性” 假设存在整数q与r，以及整数q1与r1，使得b=qa+r，0ra，且b=q1a+r1，0r1a。则将两式相减，得到：r1-r=(q-q1)a。由于q-q1仍然是整数，因而a|(r1-r)。,一、带余数除法,证明：“唯一性” 假设存在整数q与r，以及整数q1与r1，使得b=qa+r，0ra，且b=q1a+r1，0r1a。a|(r1-r)由假设0ra且0r1a，得到-ar1-r0） =b-qa-a =b-(q+1)a 0 即b-(q+1)aS 且b

6、-(q+1)ar矛盾，因而0r1，则nZ都可以唯一的表示为n=akbk+ak-1bk -1+.+a1b+a0，称此表达式为正整数n的b进制表示，记为(n)b=(ak,ak-1,.,a1,a0) b，其中0ajb-1，j=0,1, k，且ak0，k是非负整数。例1.2.1：给出整数2345的十进制表示。解：在定理1.2.2中取b=10，a0=5，a1=4，a2=3，a3=2，且当i4时取ai=0，则可以得到2345=2103+3102+410+5。一般地，任一个正整数N都可以以十进制表示为：N=an10n +an-110 n-1 +a3103 +a2102+a110+a0其中0ai9，i

7、是0到n中的任一个整数。,定理1.2.2 设正整数b1，那么每个正整数n都可以唯一的表示为如下形式：n=akbk+ak-1bk -1+.+a1b+a0。,证明：首先，以b除n，得到n=bq0+a0，0a0b-1。如果q00，继续以b除q0，得到q0=bq1+a1，0a1b-1。继续这个过程，依次得到q1=bq2+a2，0a2b-1，q2=bq3+a3，0a3b-1，.qk-2=bqk-1+ak-1，0ak-1b-1，qk-1=b0+ak，0akb-1。当商为0时，结束这个过程。,定理1.2.2 设正整数b1，那么每个正整数n都可以唯一的表示为如下形式：n=akbk+ak-1bk -1+.+a1

8、b+a0。,证明：将第二个方程q0=bq1+a1，0a1b-1，代入到第一个方程n=bq0+a0，0a0b-1 ，得到n=b(bq1+a1)+a0=b2q1+a1b+a0以q1=bq2+a2，0a2b-1，进行替换，得到 n=b3q2+a2b2+a1b+a0 ， n=bk-1qk-2+ak-2bk-2+a1b+a0以qk-2=bqk-1+ak-1，0ak-1b-1，进行替换，得到n=bkqk-1+ak-1bk-1+a1b+a0以qk-1=b0+ak，0akb-1进行替换，得到n=ak bk+ak-1bk-1+a1b+a0其中0ajb-1，j=0, 1, , k，且ak0，这里假定ak=qk-1

9、是最后的一个不为零的商。,证明：唯一性。假设有两个等于n的表达式，即 n=akbk+ak-1bk -1+a1b+a0 ，n=ckbk+ck-1bk -1+c1b+c0其中0ajb，0cj1，那么每个正整数n都可以唯一的表示为如下形式：n=akbk+ak-1bk -1+.+a1b+a0。,证明：唯一性。(ak-ck)bk-j+(aj+1-cj+1)b+(aj-cj)=0，进而aj-cj=(ck-ak)bk-j+(cj+1-aj+1)b =b(ck-ak)bk-j-1+(cj+1-aj+1)，即b|(aj-cj)。然而由0ajb，0cjb，得到-baj-cj1，那么每个正整数n都可以唯一的表示为如

10、下形式：n=akbk+ak-1bk -1+.+a1b+a0。,二、整数的进位计数制表示法,例：整数1023用二进制数可以表示为 1023=129+128+127+126+125 +124+123+122+12+1，例：(73) 8化为十进制数等于什么? 解 (73) 8=78+3=56+3=59。例： (112)8化为十进制数等于什么? 解 (112) 8=182+18+2=74。,二、整数的进位计数制表示法,数制转换的方法：以b除n，得到余数a0；以b除商n/b=q0，得到余数a1；继续这一过程，依次地以b除商，直到商值为0时终止。,三、数制转换,例1.2.4：计算233的以2

11、为基底的展开式。解：递归地应用带余数除法得到233=2116+1116=258+058=229+029=214+114=27+07=23+13=21+11=20+1 最后，为了得到233的以2为基底的展开式，只需要依次“由后向前”选取这些除式的余数即可，即233=(11101001)2。,三、数制转换,例1.2.5：将226化为八进制数等于什么?解：依次应用带余数除法得到226=828+2，28=83+4，3=80+3最后，为了得到227的以8为基底的展开式，只需要依次选取这些除式的余数即可，即227=(342)8。例1.2.6 (110101)2化成十进制数等于什么?解：(110101)

12、2=125+124+023+122+02+1=53。,三、数制转换,将二进制数转换成八进制数：先依次将待转换的二进制数的数字从右向左每三个数字分为一组，最后一组不够三个数字时可在前面添加0，使成三个数字；再将每一组和八进制数中的一个数字进行转换。转换时可使用下面的式子(0)8=0=(0)2=(000)2，(1) 8=1=(1) 2=(001) 2，(2) 8=2=(10) 2=(010) 2，(3) 8=3=(11) 2=(011) 2，(4) 8=4=(100) 2，(5) 8=5=(101) 2，(6) 8=6=(110) 2，(7) 8=7=(111) 2 例1.2.7：将(110101

13、)2化为八进制数。,三、数制转换,例1.2.7：将(110101)2化为八进制数。解：第一步先将这个二进制数依次分成三个数字为一组，(110101)2=(110 101)2，由(110) 2=(6) 8，(101) 2=(5)8，得(110101) 2=(65) 8。将八进制数转换成二进制数，只需依次将此八进制数的数字和相对应的每三个数字为一组的二进制数进行转换。例1.2.8 将(3267)8化为二进制数。解:首先由(3)8=(011)2，(2)8=(010)2，(6)8=(110)2，(7)8=(111)2，即得(3267)8=(011010110111)2=(11010110111)2。

14、,第三节整数分解,一、最大公因数的定义和性质二、欧几里得算法三、因式分解法四、标准分解式,一、最大公因数的定义和性质,定义1.3.1 两个不全为零的整数a和b的最大公因数是能够同时整除a与b的最大整数。记为gcd(a,b)或者(a,b)，同时定义(0,0)=0。注：-a与a有相同的因数，即(a,b)=(|a|,|b|)，因此我们只需要关注两个正整数之间的最大公因数。例1.3.1： 36与48的公因数为1，2，3，4，6，12。因此(36,48)=12。类似地，(18,81)=9，(75,25)=25，(0,76)=76，(-31,62)=31。定义1.3.2：如果整数a与b的最大公因数

15、为1，即(a,b)=1，则称a与b相对互素。,一、最大公因数的定义和性质,定理1.3.1：设整数a与b的最大公因数为d，即(a,b)=d，则(a/d, b/d)=1。证明：设正整数e是a/d与b/d的公因数，则e|(a/d)且e|(b/d)，进而由整除的定义知道存在整数k与l使得a/d=ke且b/d=le，因而a=ked且b=led，即ed是a与b的公因数。由于d是a与b的最大公因数，因而edd，即e=1，因而a/d与b/d没有除1以外的公因数，故(a/d, b/d)=1。,一、最大公因数的定义和性质,定理1.3.2： a, b, cZ，有(a+cb,b)=(a,b)。证明：首先若e是a与b

17、|a且d|b。由带余数除法，可以找到整数q与r，使得a=dq+r，0rd，进而r=a-dq=a-(ma+nb)q=(1-qm)a-nqb，即r是a与b的线性组合。由于0r0不会多于r0项，故可以假设最终得到的余数为零。因而(r0,r1)=(r1,r2)=(r2,r3)=(rn-1,rn)=(rn,0)=rn。,二、欧几里得算法,二、欧几里得算法,例1.3.3 计算(102,222)。解：222=2102+18102=518+1218=112+612=26最后一个非零余数6就是222与102的最大公因数，即(222,102)=6。利用欧几里得算法可以将两个整数的最大公因数表示为这两个整数的一

18、个线性组合。例1.3.4 将(222,102)=6表示为222与102的一个线性组合。解：由欧几里得算法求解(222,102)过程的倒数第二步得到6=18-112，而前面一步的结果为12=102-518，,二、欧几里得算法,例1.3.4 将(222,102)=6表示为222与102的一个线性组合。解：6=18-112，12=102-518，结合这两个等式得到6=18-1(102-518)=618-1102。又由222=2102+18 ，得到18=222-2102，因而6=6(222-2102) -1102=6222-13102。最后一个等式就将(222,102)=6表示成了222与102的一个

19、线性组合。,定理1.3.7（扩展的欧几里得算法）设r0与r1是两个正整数，则(r0,r1)=snr0+tnr1，其中sn和tn是如下递归定义的序列的第n项，s0=1，t0=0，s1=0，t1=1，sj=sj-2-qj-1sj-1，tj=tj-2-qj-1tj-1，j=2,3,.,n。qj是使用欧几里得算法计算(r0,r1)时所得到的商。证明：设rj，j=0,1,.,n，是使用欧几里得算法计算(r0,r1)时所得到的余数序列，接下来，使用数学归纳法证明rj=sjr0+tjr1，j=0,1,.,n。当j=0时，由于r0=1r0+0r1=s0r0+t0r1，因而当j=0时结论成立。,二、欧几里得算

20、法,证明：当j=1时，由于r1=0r0+1r1=s1r0+t1r1，因而当j=1时结论也成立。现在，假设等式rj=sjr0+tjr1在j=1,.,k-1时成立。则由欧几里得算法，rk=rk-2-rk-1qk-1。进而由归纳假设，rk=(sk-2r0+tk-2r1)-(sk-1r0+tk-1r1)qk-1 =(sk-2-sk-1qk-1)r0+(tk-2-tk-1qk-1)r1 =skr0+tkr1即对任意的整数j，j=0,1,.,n，有rj=sjr0+tjr1。而由欧几里得算法我们知道(r0,r1)=rn，因而必然有(r0,r1)=rn=snr0+tnr1，即(r0,r1)表示成了r0与r1的

21、一个线性组合。,例1.3.5 使用扩展的欧几里得算法将(222,102)=6表示为222与102的一个线性组合。解：由例1.3.3，利用扩展的欧几里得算法，计算sj与tj，j=0,1,2,3,4的值如下s0=1，t0=0，s1=0，t1=1，s2=s0-q1s1=1-20=1， t2=t0-q1t1=0-21=-2，s3=s1-q2s2=0-51= -5， t3=t1-q2t2=1-5(-2) =11，s4=s2-q3s3=1-1(-5)=6，t4=t2-q3t3=-2-111= -13，由于r4=6=(222,102)且r4=s4r0+t4r1，得到6=(222,102)= 6222-131

23、(p,a1a2an)=1或者(p, a1a2an)=p。若(p, a1a2an)=1，则p| an+1；若p|a1a2an，由归纳假设，存在某个整数i，1in，使得p|ai。,三、因式分解法,定理1.3.8（算术基本定理）如果不考虑素因子的排列顺序，每个大于1的正整数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积。证明：首先用反证法证明，每个大于1的正整数都至少可以以一种方式写成素数的乘积形式。假设n是不能写成素数乘积形式的最小正整数。若n是素数，显然它就是一个素数集合。设n=ab，1an，1bn，则a与b必定是某些素数的乘积。因而n必定也是某些素数的乘积，矛盾。,三、因式分解法,定理1.3.8（

24、算术基本定理）如果不考虑素因子的排列顺序，每个大于1的正整数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积。证明：接下来用反证法来证明这种分解式是唯一的。设n=p1p2ps且n=q1q2qt 其中素数p1p2ps，q1q2qt。除去两个分解式中相同的素数，得到此时等式两边的素数完全不相同，且u1，v1。必然存在某个整数k，使得但是素数，矛盾。,|,三、因式分解法,定义1.3.6 设整数n2，若a1|m, a2|m，an|m，则称正整数m为正整数a1,a2,.,an的公倍数。正公倍数中最小者叫做最小公倍数。用记号a1,a2,.,an表示。例: 4,6=12，9,13=117。引理1.3.5 若x与y是

25、实数，则max(x,y)+min(x,y)=x+y。证明：若xy，则min(x,y)=y，max(x,y)=x，因而max(x,y)+min(x,y)=x+y。若xy，则min(x,y)=x，max(x,y)=y，因而同样有max(x,y)+min(x,y)=x+y。,三、因式分解法,定理1.3.9 设a与b是两个正整数，那么a,b=ab/(a,b)，这里(a,b)，a,b分别是a与b的最大公因数与最小公倍数。证明：设a与b有标准分解式，设Mj=max(aj,bj)，mj=min(aj,bj)，则 a,b(a,b)= = = = =ab结论得证。,三、因式分解法,引理1.3.6设正整数m与n相

27、n。证明：接下来证明这种分解式是唯一的。首先注意到d的分解式中每个素数的幂必然出现在d1或d2中，即d的分解式中整除m的素数的幂必然出现在d1中，而整除n的素数的幂必然出现在d2中，也即d1=(d,m)，d2=(d, n)。相反，设d1与d2分别是m与n的正因子，则，0eimi，i=1,2,s，，0fjnj，j=1,2,t。由于d的标准分解式中每个素数的幂都不大于mn的素分解式中相应的素数的幂，故整数d=d1d2是的因子。,定理1.3.10 设正整数a与b有标准分解式 ,其中as0，bs0，且p1p2ps，则 ,其中cv=min(av,bv)，ev=max(av,bv)，v=1,2,s

28、。例1.3.6 求108与134的最大公约数与最小公倍数。解：(108,134)=(2233670,23067) =2，108,134=2233670,23067 =223367=7236。,三、因式分解法,引理1.3.7 每一个大于1的正整数都有一个素因子。证明：反证法。假设存在正整数11,uZ+,u没有素因子记集合S中最小的正整数为n。由于n无素因子且n|n，得到n不是素数，即存在整数1an，1bn，使得n=ab。由a =n，这与n=ab矛盾，即。而由引理1.3.7，a一定会有一个素因子m，即m|a，又a|n，则m|n，即m也是n的素因子，由，得到m ，结论得证。,四、标

29、准分解式,爱拉斯托散（Eratosthenes）方法（不超过100的一切素数）：由定理1.3.11知道每个小于100的合数一定会有一个小于=10的素因子，而小于10的素数只有2,3,5和7，因而为了找到所有小于100的素数，可以先在不大于100的整数中删掉2的倍数（不包括2），之后在剩余的整数中删掉3的倍数（不包括3），随后再在剩余的整数中删掉5的倍数（不包括5），之后再在剩余的整数中删掉7的倍数（不包括7），最后剩余的除1之外的整数即为小于100的素数了。,四、标准分解式,试除法：一个整数n或者是一个素数，或者有一个不超过的素因子。因而当我们依次地以不超过的素数2，3，5，去除以整

30、数n时，或者可以找到n的一个素因子p1接下来寻找n1=n/p1的素因子，由于n1的素因子也是n的素因子，而n没有小于p1的素因子，所以可以由p1开始搜索n1的素因子。接着确定是否有不超过的素数整除n1。或者可以确定n是素数。重复这个过程，我们就可以完全确定n的素因子分解式。,四、标准分解式,试除法：例1.3.7：设n=3175，我们注意到n不被2，或者3整除，但是有5整除n，即3175=5635。又5整除635，即635=5127而 13，同时试除法表明127不被素数5，7，或11整除，故127是一个素数，进而我们得到3175的标准分解式为3175=52127。,四、标准分解式,第四节同

31、余,一、同余的定义和性质二、同余的运算三、线性同余式四、中国剩余定理五、威尔逊定理、费马小定理与欧拉定理,定义1.4.1 如果a和b都是整数而m是一个固定的正整数，则当m|(a-b)，即存在整数k，使得km=a-b时，称a与b模m同余，记作ab(modm)；而当m(a-b)时，称a与b模m不同余，记作ab(mod m)。例1.4.1 证明371 (mod 9)，2610 (mod 8)。证明：由于37-1=36=49，所以371(mod9)。又261-0=832+5，即8(261-0)，所以2610 (mod 8)。,一、同余的定义和性质,定理1.4.1 设m是一个正整数，则模m同余具有如下

32、性质：反身性。若a是一个整数，则aa (mod m)对称性。如果a，b都是整数且有ab (mod m)，则ba (mod m)。传递性。如果a，b，c都是整数且有ab (mod m)，bc (mod m)，则ac (mod m)。证明：由于m|(a-a)，所以aa (mod m)。,一、同余的定义和性质,对称性。如果a，b都是整数且有ab (mod m)，则ba (mod m)。证明：由于ab (mod m)，得到 a-b=mt，其中t是整数；又b-a=m(-t)，而-t也是整数，因而m|(b-a)，所以ba (mod m),一、同余的定义和性质,传递性。如果a，b，c都是整数且有ab (

33、mod m)，bc (mod m)，则ac (mod m)。证明：由于ab (mod m)且bc (mod m)，则m|(a-b)且m|(b-c)，即存在整数t和s使得a-b=mt，b-c=ms，因而a-c=a-b+b-c=mt+ms=m(t+s)，进而m|(a-c)，即ac (mod m)。,一、同余的定义和性质,定理1.4.1 设m是一个正整数，则模m同余具有如下性质：反身性。若a是一个整数，则aa (mod m)对称性。如果a，b都是整数且有ab(modm)，则ba(modm)。传递性。如果a，b，c都是整数且有ab (mod m)，bc (mod m)，则ac (mod m)。

34、即模m同余是一个等价关系，因而我们可以将整数集划分成m个模m的等价类，这里称之为同余类，并且每一个模m的同余类中的整数都是模m同余的。例如我们可以得到如下三个模3的同余类-6-3036. (mod 3)-5-2147. (mod 3)-4-1258. (mod 3),一、同余的定义和性质,一、同余的定义和性质,定义1.4.2 模m的完全剩余系是一个使得每个整数模m之后都恰好和这个集合中的某一个整数同余的整数集合。例1.4.2 带余数除法表明整数集0,1,m-1构成了模m的一个完全剩余系，我们称其为模m的最小非负剩余集。,二、同余的运算,定理1.4.2 如果a，b，c，d都是整数，而m是正

35、整数，则当ab(modm)与cd(modm)都成立时，我们有a+cb+d (mod m)，a-cb-d (mod m)，acbd (mod m)。证明：由于ab (mod m)，cd (mod m)，因而存在整数s，t使得a-b=ms， c-d=mt，进而(a+c)-(b+d)=a-b+c-d=mt+ms=m(t+s)，a-c-(b-d)=a-bc+d=a-b-(c-d) =ms-mt=m(s-t)，ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)=msc+bmt=m(sc+bt)。由于t+s，s-t与sc+bt依然都是整数，所以a+cb+d(modm)，cb-d(modm)，acbd (mod m)。,

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