1、1,第八节 一般网络的可靠性模型,第 二 章 系 统 可 靠 性 模 型(5),一、结构函数-（2）,习 题 二 答 案-(49),二、状态枚举法（布尔真值表法）-（24）,例 2-6 -（11）,例 2-7 -（20）,例 2-8 -（25）,三、概率图法 -(31),四、全概率分解法-（36）,五、不交最小路法-（42）,例 2-9 -（32）,例 2-10 -（37）,例 2-11 -（42）,例 2-12 -（45）,2,解一般网络的方法：有状态枚举法（真值表法）、概率图法、全概率分解法、不交最小路法、网络拓扑法和Monte-Gareo模拟法。,第八节 一般网络的可靠性模型,从可靠性角
2、度研究部件或系统，它们都是两态的。因此象布尔代数一样，我们希望用一函数式来表示部件的两态对系统两态的影响，这个函数式称做结构函数。,一、结构函数,本节只介绍前四。主要讲全概率分解法和不交最小路法。前者主要用于手算，后者用计算机解一般网络系统。,一般网络系统比前面讲的串联、并联、表决和储备系统都要复杂，例如航天、航空、通信和计算机系统等。,3,若一个系统S由 n个部件组成，x i表示第 i 个部件的状态： x i = 1 表示第 i 个部件成功； x i = 0 表示第 i 个部件失效。,1. 结构函数有关的基本概念,（1）结构函数的含义,则系统状态可用下述结构函数表示：,X 是 n 维向量,
3、系统可靠的结构函数,4,这里本书只研究 (X) 。, 系统失效的结构函数,5,最小路集（MPS）是指其中任何一个单元失效时,都会引起系统失效的路集为最小路集。可知它是路集中的一种最小路集MPS。,（2）最小路集和最小割集,路集是指系统中单元状态变量的一种子集，在该子集以外所有单元均失效的情况下， 子集中所有单元工作时系统工作，该子集称为路集。,最小路集的阶数是指最小路集中含单元状态变量的个数称为最小路集的阶数。, 最小路集：,最小路集（MPS）：,最小路集的阶数:,6,割集是系统中单元状态变量的另一种子集，在该子集以外所有单元均工作的情况下，当子集中所有单元失效时系统必然失效，该子集称为割集。
4、,最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作时系统工作的割集称为最小割集。易见，最小割集是割集中的一种，即最小割集中的每一个单元单独都会引起系统工作。,最小割集的阶数：,最小割集的阶数是指最小割集中含单元状态变量的个数称为最小割集的阶数。,最小割集(MCS)：, 最小割集：,7,例1 某一系统可靠性逻辑框图如下图所示，求其路集、割集，最小路集、最小割集及其阶数 。,下面举例巩固以上最小路集和最小割集的概念。,解：（1） 路集和割集共有23=8个。根据路集、最小路集及其阶的定义和和逻辑框图：,【 路集是指系统中所有以外单元均失效的情况下,子集中所有单元工作时系统工作。最小路集（MPS）是指其中任
5、何一个单元失效时,都会引起系统失效。最小路集的阶数是指最小路集中含单元状态变量的个数。】,8,简明判断：可见含有任何子集全部单元的的路集和割集均不是最小路集和最小割集，即可用排除法判之。,（2）路集和割集共有23=8个。根据割集、最小割集及其阶的定义和逻辑框图：,【割集是在该子集以外所有单元均工作的情况下，当子集中所有单元失效时系统必然失效。最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作时系统工作的割集。最小割集的阶数是指最小割集中含单元状态变量的个数】,9,1、2、3为最小割集，一阶。,例2 判断三个单元组成串联及并联系统的路集、割集，最小路集，最小割集及其阶数。,其中 1, 2 , 3为最小路
6、集，三阶。,解：（1）根据路集、最小路集、割集、最小割集定义得 ，路集+割集= 23 = 8 个。串联时,割集 ：1、2、3、1，2、 1，3、2，3、1，2，3 共7个。,其中 ： 路集 1，2，3 共1个。,10,路集：1、2、3、1,2、 2,3、1,3、1,2,3 共7个。,割集 ：1,2,3 共1个。,1 , 2 , 3 最小割集为三阶。,其中： 1 、 2 、 3 最小路集均为一阶。,（2）根据路集、最小路集、割集、最小割集定义得 ，路集数+割集数=23 = 8个。并联（见图）时,11,例 2-6 为一般网络系统的例子，其系统逻辑框图如图230所示。试求该系统所有的路集、割集、最小
7、路集和最小割集，并指出各最小路集和最小割集的阶数。,图2-30 例2-6系统可靠性逻辑框图,12,解：（1）根据路集、最小路集和最小路集阶数的概念可得图2-30系统的所有路集，最小路集及最小路集的阶数为。,图2-30 例2-6的图,13,图2-30 例2-6的图,解：（2）根据割集、最小割集和最小割集阶数的概念可得图2-30系统的所有割集，最小割集及最小割集的阶数为。,14,2. 用最小路集和最小割集表示结构函数,（1）系统可靠的结构函数用全部最小路集表示为,15,（2）系统可靠的结构函数用全部最小割集表示为,16,例3 用最小路集和最小割集分别写出例1图系统的结构函数 (X ) 。,解：（1
8、）用最小路集表示，由式(2-40) 得,17,由此可见，与用最小路集表示其结果一样。,解：（2）用最小割集表示例1（图例1图）系统的结构函数 (X ) ，由式(2-41) 得,18,(1) 对偶函数,可以证明：,19,(2) 结构函数（X）的补函数,结构函数（X）的补函数为,20,例 2-7 设有两个单元并联系统，见图231。 求该系统可靠的结构函数、对偶函数和补函数，并讨论它们间的关系。,(2) 结构函数：由式(2-40) 得,解：（1）图2-31中并联系统的 最小路集MPS和最小割集MCS分别为：,图2-31 例2-7的图,由式(2-41) 得,由式(2-40) 和式（2-41）求出的结果
9、一样。,21,(4) 补函数：由式(2-43)得,图2-31 例2-7的图,(3) 对偶函数：由式(2-42)得,可见： 结构函数(X) 代表该系统（并联系统）成功；, 对偶函数代表另一系统，本例对偶系统为串联系统的成功，即,22,4. 用最小路集和最小割集求系统的可靠性及失效率,（1） 用最小路集求系统的可靠性,根据概率理论可以推出：,将最小路集代入不交化后 ，可得系统可靠性函数为,23,（2） 用最小割集求系统的失效概率,根据概率理论可以推出：,将最小割集代入不交化后 ，可得系统失效函数为,返回1,24,二、状态枚举法(布尔真值表法),求一般网络可靠性模型的常用方法有状态枚举法，概率图法，
10、全概率分解法和不交最小路法。,状态枚举法也称状态穷举法或布尔真值表法，是一种最直观的计算系统可靠性的方法。,设系统有n个单元组成，每个单元仅有两种可能状态，即单元正常工作（用1表示）和单元失效（用0表示），则n个单元组成的系统有n2个状态。系统的每一状态也只有正常和失效两种状态。,把单元和系统状态（工作或失效）关系列表（布尔真值表）表示。用“S(i）”表示系统能正常工作，“F(i)”表示系统失效。其中 i 在S(i)中表示在这个状态下为保证系统正常工作所需要单元正常工作的个数。i 在F(i)中表示在这个状态下引起系统失效的失效单元的个数。,25,例 2-8 某一桥式系统的可靠性逻辑框图如图23
11、2所示。其5个单元的可靠性分别为,图 2-32 例 2-8 的图,26,解： (1) 绘制真值表，并判定系统状态,因系统由5个单元组成，n = 5 每个单元两种状态：0 或 1。故该系统有2n= 25 =32 种状态。,图 2-32 例 2-8 的图,由例2-6可知：其中16种（路集）状态为系统正常工作。16 个路集如下：,16种（割集）状态为系统失效。16个割集如下：,根据路集和根据绘制的真值表如表2-4（见下页）所示，以 S(i) 表示路集。以F(i) 表示割集。,27,28,（2）计算表2-4中系统正常工作S(i)的概率（可靠性）,例如状态编号7的系统正常工作概率为,29,（3）计算系统
12、可靠性,系统可靠性为表2-4中16项S（i）的概率和，即,如果系统处于失效状态F(i)比处于工作状态S（i）少,则计算F(i) 求不可靠度FS，即系统可靠性为,30,（a）如何绘制真值表，即表24，以保证 2n 种状态不遗漏，不重复。,（b）如何确定各种状态下系统失效还是正常工作？ 有两种方法:, 判断该状态是路集还是割集：路集为系统正常工作S(i) ；割集为系统失效F(i) 。,实验法，装开关。,注意：,由例2-8可见，状态枚举法原理简单，步骤清晰、直观，容易掌握。如果系统单元个数n 6时，计算量较大，此时可借助于计算机进行计算。,返回1,31,三、概率图法,概率图法 是在状态枚举法基础上进
13、行的。以二进制表示的系统的2n种部件组合，可以形象地用图形表示。,概率图是指图的表头必须用格雷（Gray）码编排，格雷码的相邻组码必须有一个码不同，这种图形称为概率图。,如图2-33为n = 5 的概率图。,图 2-33 n = 5 的概率图,概率图法是指在概率图上把表示系统正常的小方格用1标出。然后把它划为一些不重叠的长方或正方格，对各方格进行合并简化，最后可将系统可靠性按划分的方格写出，这就是概率图法。,32,解： (1)画出概率图,图 2-33 n = 5 的概率图,图 2-32 例 2-8 的图,例 2-9 (同例2-8)某一桥式系统的可靠性逻辑框图如图232所示。其5个单元的可靠性分
14、别为,试用概率图法求系统的可靠性。,注意： 因表头必用格雷码编制：相邻组码必需有一个码不同。,本例图2-32 n = 5 ，有32个状态，其概率图为图233 （也可以划成其他形式）。,33, 再把标出1的小方格划为一些不重叠的长方或正方格，得图234所示。,图2-34 例2-9系统的概率图, 表示系统正常的小方框（16个）用1在图233上标出。, 系统正常判定方法同前：判定为路集（本例有16个）；模拟电路开关实验。,图 2-32 例 2-8 的图,34,(2) 对各方格进行合并简化（从左至右）, 利用以前定理，定律进行合并简化。, 各种形式画的方格，合并简化后是结论一样。,图2-34 例2-9
15、系统的概率图,1,例如对第1方格合并简化为,同理可得其余4个方格结果为：,35,(3) 求系统的可靠性 RS,状态枚举法和概率图法只适用单元数目较小(一般n6)的情况。,返回1,36,四、全概率分解法,全概率分解法主要用于可靠性不易确定的一般网络系统，可采用概率论中的全概率公式将它简化为一般的串、并联系统进行计算其可靠性的方法。,应用全概率分解法首先选择系统中任一个单元，然后按这个单元处于正常与失效两种状态进行计算系统可靠性。,37,图 2-32 例 2-8 的图,38,(2) 计算系统简化图的可靠性, 系统正常时的简化图是一个串并联系统，如图2-35（a） 所示。,图2-35 (a) A5
16、正常时的简化图,由式（2-18）可得其可靠度为,39,由式（2-19）可得其可靠度为 ：, 系统失效时的简化图是一个并串联系统，如图2-35（b） 所示。,图2-35(b) A5失效时的简化图,40,由式（244）得系统可靠性为：,(3) 计算系统的可靠性,图 2-32 例 2-8 的图,41,由例2-10可见，全概率分解法与概率图解法及状态枚举法对同一系统的可靠性计算结果相同。,对例2-10来说，全概率分解法计算较简单。但选择Ax很重要，它必须是系统中主要单元，且与其他单元联系最多。这样才能达到简化计算结果的目的。若选择不当，非但不能简化计算，还可能得出错误的结果。对于复杂的系统，全概率分解
17、法更无能为力了。,返回1,42,五、不交最小路法, 利用概率论和布尔代数有关公式求系统的可靠性。, 列出系统工作的最小路集表达式。,不交最小路法 求系统可靠性的步骤：, 枚举任意网络的所有最小路集,图 2-32 例 2-8 的图,例 2-11 (同例2-8)某一桥式系统的可靠性逻辑框图如图2-32所示。其5个单元的可靠性分别为,用交最小路法求系统可靠性。,43,解：（1）枚举系统的全部最小路集,由图232可确定该系统有4个最小路集，即,图2-32,（2） 列出系统工作的最小路集表达式并进行不交化,44,（3）求系统的可靠性,由例2-11可见，不交最小路法与上述三种方法（状态枚枚举法、概率图法和
18、全概率分解法），对同一系统的可靠性计算结果完全相同(RS=0.86688) 。,45,例2-12 某一系统的逻辑可靠性框图如图2-36所示。网络中的7个单元的可靠性分别为：,图2-36 例2-12的可靠性逻辑框图,解：（1）枚举系统的全部最小路集,由图236可确定该系统有7个最小路集，即,46,（2） 列出系统工作的最小路集表达式并进行不交化,图2-36 例2-12的可靠性逻辑框图,47,（3）求系统的可靠性,（3）求系统的可靠性,48,由例2-12可见，采用不交最小路法，可直接利用数学公式求任意网络系统的可靠性。由于不交最小路法的计算便于用计算机解题，因此更适用于计算复杂系统的可靠性。,返回
19、1,49,习题二 答 案,50,2. 某并联系统由n 个单元组成 ，设各单元的寿命均服从指数分布，失效率均为0.001/h。求n = 2,3的系统在t = 100h的可靠性（可靠度）及用以上单元组成2/3G表决系统，求表决系统的可靠性和平均寿命MTBF。,答 案:,51,3. 由2n单元组成的并串联系统和串并联系统的可靠性框图分别如图2-37（a）和图2-37（b）所示。假设各单元失效是互相独立的，试比较这两个系统的可靠性。,答 案:,52,由于 0 R 1 n 1的自然数,53,4. 某3/6G表决系统，各单元寿命分布均服从指数分布，失效率均为,答 案:,54,5. 喷气式飞机有3台发动机，
20、至少需2台发动机正常才能安全飞行和起落，假定飞机事故仅由发动机引起。并假定发动机失效率为（MTBF=2000h）。求飞机飞行10h和100h的可靠性（可靠度）。,答 案:,55,6. 某一系统的可靠性逻辑框图如图2-38所示若各单元相互独立，且等于可靠性分别为,图2-38 习题6系统的可靠性逻辑框图,答 案:,56,(1) 全概率分解法求系统的可靠性,图2-39习题7习题的可靠性框图1,7. 图2-39中各单元工作相互独立，其可靠性分别为,(1) 全概率分解法求系统的可靠性；（2) 用不交最小路法求系统的可靠性。,答 案:,选R2为Rx ,当R2正常时系统简化图(a),当R2失效时系统简化图(
21、b)。,57,图(a) R2正常时的简化图, 图（a)为串并联系统，由式（2-18）得其可靠性为,图（b)为并串联系统，由式（2-19） 得其可靠性为,图(b) R2失效时的简化图, 全概率分解法求系统的可靠性,58,(2) 用不交最小路法求系统可靠性, 系统有4个最小路集MPS, 列出系统工作的MPS表达式并进行不交化,图2-39习题7习题的可靠性框图1,59, 系统可靠度,图2-39习题7习题的可靠性框图1,60,图2-40 习题8系统的可靠性 逻辑框图,答 案:,61,9. 某系统的可靠性逻辑框图如图2-41所示 。单元1,2,3均服从指数分布，其失效率分别为,图2-41习题9系统的可靠性 逻辑框图,答 案:,62,答 案:,63,11. 用尽可能简单的求图2-42所示网络可靠性表达式（用全概率分解法解）。,图2-42 习题11系统的可靠性框图,答 案:,返回1,64,65,
