1、第三讲 函数的极限,函数的极限,一、函数极限的概念二、不同过程的函数极限的关系三、函数极限的性质四、小结,一、函数极限的概念,（一）自变量的不同变化过程（二）函数极限的统一定义（三）各过程的函数极限定义（四）举例,（一）自变量的不同变化过程,1,2,3,4,5,6,1,自变量恒取正值，递增地无限变大,例,2,自变量恒取负值， |x|递增地无限变大,例：,3,自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大,例：,4,x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0,例：,-1,1,（左极限）,5,x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0,例：,1,1,（右极限）,6,|x-x0|无限变小，但恒不等于0,例
2、：,1,2,函数极限的统一定义,如果存在常数A具有如下性质：,“一个时刻”,恒有,则称函数在该过程中极限存在，极限为A,考虑自变量的某个变化过程，,（二）函数极限的统一定义,函数极限的统一定义,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,A+,A-,A,（三）各过程的函数极限定义,1,2,3,4,5,6,1,自变量恒取正值，递增地无限变大,例,1,自变量恒取正值，递增地无限变大,例,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,1,自变量恒取正值，递增地无限变大,例,当,时，,x,o,y,X,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,X0,当xX时,2,自变量恒取负值， |x|递增地无限变大,
3、例：,2,自变量恒取负值， |x|递增地无限变大,例：,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,2,自变量恒取负值， |x|递增地无限变大,例：,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,-X,X0,当x0,当|x|X时,4,x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0,例：,-1,1,（左极限）,4,x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0,例：,-1,1,（左极限）,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,4,x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0,例：,-1,1,（左极限）,“一个时刻”,使得,“在该时刻以后”,恒有,0,1-,当x0-x0,当00,1+,1-,各过程函数极限的定
4、义,例 证明,证,为了使,有,用定义证明函数极限的一般步骤：,例, 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| ,证明,定理1,定理2,推论1,若,推论2,若,几个重要定理,例,-1,1,2,-1,例,证,左右极限存在但不相等,三、函数极限的性质,（一）唯一性,定理1,三、函数极限的性质,（二）局部有界性,定理2,若函数 f (x)在某一过程中极限存在,则函数 f (x)在该过程中必有界.,函数f(x)在某过程中有界是指:,存在一个正数M 和“一个时刻”，使得在该“时刻以后”恒有：,三、函数极限的性质,（三）局部保号性,定理3,若函数 f (x)在某一过程中存在极限A,且A0，,则在该过程中必存在“一个时刻”，使得在该“时刻以后”恒有：f (x)0.,推论,若函数 f (x)在某一过程中不小于零，,且存在极限A，则A0.,定理4,（Heine定理或归结原则）,即,推论3,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例,证,二者不相等,
