1、第四章 弯曲内力,本章主要内容,弯曲、对称弯曲的概念(重点概念)2 受弯杆件的简化3 剪力和弯矩(重点)4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 (熟练掌握)载荷集度、剪力和弯矩间的关系 (掌握)平面曲杆的弯曲内力,4.1 弯曲的概念和实例,（1）弯曲变形概念（2）对称弯曲 平面弯曲,（1）弯曲变形概念,简图:,A,B,FA,FB,受力特点：,杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。,Me,Me,变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相 对转动。,弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。 通
2、常以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。,起重机大梁,火车轮轴,（2）对称弯曲,对称弯曲梁的每一个横截面（至少）有一根对称轴，这些对称轴构成纵向对称面 。所有外力都作用在纵向对称面内（外力作用平面）。由于梁的几何、物理性质和外力均对称于梁的纵向对称面 ，因此，梁弯曲变形后的轴线必定是位于这个对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲，如图所示。,横截面有对称轴,变形前轴线在纵向对称面内,A,B,对称轴构成纵向对称面,纵向对称面,A,B,FA,FB,F,q,m,纵向对称面,对称轴,变形前轴线,A,B,F, q, m 常见三种外力,FA,FB,F,q,m,纵向对称面,对称轴,变形后轴线仍在纵向对称面
3、内,变形前轴线,A,B,A,梁弯曲变形后的轴线必定是位于这个纵向对称面内的一条平面曲线。这种弯曲形式称为对称弯曲。 对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。,对称弯曲时，由于梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，因此也称为平面弯曲。,纵向对称面,F,q,FA,FB,A,B,4.2 受弯杆件的简化,简图1 (平面图) 画轴线表示梁,q,A,B,FA,FB,简图2(平面图) 画杆件表示梁,q,A,B,FA,FB,静定梁的基本形式,静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。 静定梁的基本形式有： 简支梁。悬臂梁。外伸梁 。 梁的两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。,简支梁：一端为固定铰支
4、座，而另一端为 活动铰支座的梁，如图所示。,跨长l,l,悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。,B,外伸梁：一端伸出支座之外的梁。,A,C,B,4.3 梁的内力剪力和弯矩,（1）截面法求内力（2）直接 法求内力(熟练掌握),梁横截面上的内力？,A,B,m,m,a,x,b,梁横截面上的内力？,A,B,m,m,a,x,b,FA =Fb / l,FB=Fa / l,（1） 截面法求内力,x,A,m,m,x,F,B,y,C,C为截面的形心,FA =Fb / l,FB=Fa / l,(1) 截面法求内力,x,A,FA =Fb/l,m,m,x,F,B,FB=Fa/l,FS,FS,M,M,y,C,如图所
5、示的简支梁，其两端的支座反力、可由梁的静力平衡方程求得。用假想截面将梁分为两部分，并以左段(或右段)为研究对象。由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。据此，截面mm上将产生内力，这些内力将与外力F、FA 、FB，在梁的左段(或右段) 构成平衡力系。,与横截面相切的内力FS 称为剪力。 (shearing force)内力偶矩M称为弯矩。 (bending moment) FS 剪力、M 弯矩均作用在纵向对称面内。,取左段部分，由平衡条件得:,同理取右段部分，由平衡条件得:,结论： 剪力只可能有两种形式： 使横截面产生顺时针转动趋势的剪力 规定为正。 使横截面产生逆时针转动趋
6、势的剪力 规定为负。,弯矩只可能有两种形式： 使梁的弯曲为下凸（下部发生拉伸）的弯矩规定为正。 使梁的弯曲为上凸（上部发生拉伸）的弯矩规定为负 。,正的FS 、M,M,M,FS,FS,负的FS 、M,熟记!,P117, 取左段（部分），还是右段，计算结 果相同。,例： 已知简支梁 F 1 F 2, a,b,c,d,l, 如图。求E , F横截面的内力。,A,B,F1,F2,C,D,E,F,a,b,l,c,d,解：1）求梁的约束反力。,A,B,F1,F2,C,D,E,F,a,b,l,c,d,FA,FB,解得： FA= (F1(l a)+ F2(l b) ) / l FB= (F1a+ F2b)
7、/ l2）截面法求内力 横截面E :,A,E,c,FA,设FS,E 、ME 为正剪力、正弯矩，如图。Fy=0, FAFS,E=0 FS,E= FA =F1(l a)+ F2（l b) / lME=0, MEFAc=0 ME= FAc =cF1(l a)+ F2(l b) / l,A,E,c,FA,FS,E,ME,x,y,F 横截面:,B,F,d,FB,FA,FB,Fy=0, FB+FS,F=0 FS,F= FB = (F1a + F2b ) / lMF=0, MF+FBd=0 MF= FAd =d (F1a + F2b ) / l,B,F,d,FB,FS,F,MF,例 ： 简支梁如图。求1-1
8、横截面的内力。,A,B,C,4m,1,1,2m,q=10kN/m,解： FA= FB= 104 / 2=20kN,A,B,C,4m,q=10kN/m,1,1,2m,FA,FB,解：,A,C,q=10kN/m,1,1,2m,FA,FS,M,Fy=0, FAq2FS= 0 FS= FA2q = 20102 = 0 MC=0, -FA2+ q21 +M =0 M=FA2q21 =2021021=20kNm,注意现象：剪力值FS 与弯矩值M随着截面位置的变化而变化。,A,C,q=10kN/m,1,1,2m,FA,FS,M,例：已知简支梁 如图。求1-1, 2-2横截面的内力。(观察C截面内力的变化),
9、A,B,C,2.5m,10kNm,1,1m,1,2,2,解： FA= FB=10/2.5=4kN,A,B,C,2.5m,m=10kNm,1,1m,1,2,2,FA,FB,解：,A,C,FA,FS1,M1,1,1m,1,Fy=0, FA-FS1= 0 FS1= FA= 4 kNMC=0, -FA 1 +M1 =0 M1= FA 1 =4kNm,A,C,FA,FS1,M1,1,1m,1,A,C,FA,FS2,M2,1m,m=10kNm,2,2,Fy=0, FA - FS2= 0 FS2= FA =4 kNMC=0, -FA1 +m+M2 =0 M2= FA 1 - m =41-10 = -6kNm
10、,结论：外力偶m对C截面剪力值FS 无影响,对弯矩值M有影响。,例： 已知简支梁如图，求1-1横截面的内力。,A,B,20kN,C,D,4m,20kN,10kN/m,80kNm,80kNm,1m,1m,1,1,2m,FA,FB,解： FA= FB=(104 +220) /2=40kN,A,B,20kN,C,D,4m,20kN,10kN/m,80kNm,80kNm,1m,1m,1,1,2m,FA,FB,解：,A,C,20kN,10kN/m,80kNm,1m,1,1,2m,FA,FS,M,E,Fy=0FS+ 40 102 20= 0 FS= 40 102 20= 0 ME=0M-402 +80 +
11、1021+201 =0 M=40 2 80 1021201 = -40kNm,结论：剪力值FS = 截面左侧所有外力的代数和。 弯矩值M = 截面左侧所有外力对截面的 形心C之矩的代数和。,A,C,20kN,10kN/m,80kNm,1m,1,1,2m,FA,FS,M,E,总结： 一般而言各横截面的剪力、弯矩值不同 ，其值的大小与横截面的位置有关。 某横截面内的剪力值FS 等于该截面一 侧所有横向外力的代数和。 某横截面内的弯矩值M等于该截面一侧所有外力对该截面的形心C之矩的代数和。,如何确定代数和各项的正负号？ 观察（对于水平)梁(难点，重点掌握) 什么方向的外力引起正值剪力？ 什么方向的外
12、力引起正值弯矩？, 结论： 对于平面水平梁(难点，重点掌握) 左侧梁段上向上的外力引起正值剪力； 右侧梁段上向下的外力引起正值剪力，反之，则外力引起负值剪力。 左侧梁段上的外力对所求横截面形心之矩顺时针转向时引起正值弯矩； 右侧梁段上的外力对所求横截面形心之矩逆时针转向时引起正值弯矩；反之，则外力引起负值弯矩。,简记：引起正值剪力： 左上右下引起正值弯矩： 左顺右逆,(2) 平面直梁“直接法” 求内力(熟练掌握),直接法 直接由外力求内力 (即不再用 截面法) 。 适用于平面水平直梁。 某横截面内的剪力值FS = 该截面一侧所有外力的代数和。 代数和 的正负号由 左上右下为正，反之为负确定。,
13、 某横截面内的弯矩值M = 该截面一侧所有外力对该截面的形心C之矩的代数和。 代数和的正负号由左顺右逆为正，反之为负确定。,例： 已知悬臂梁 q0=20kN / m，a=1m， l =2m，如图。求C 横截面的内力。,解： FS=qca/2 = q0a2 / 2 l M= qca/2 a /3= q0a3 / 6 l,qc=a qo/l,例： 已知梁Me , a 。求11, 22, 33 横截面的内力。,A,C,Me,B,1,1,2,2,3,3,5a,a,a,解：FA= FB= Me/4a,A,C,Me,B,1,1,2,2,3,3,5a,a,a,FA,FB,FS,1= Me/4a , M1=M
14、e/4。 FS,2= Me/4a, M2=Me 。 FS,3= 0 , M3=Me 。,A,C,Me,B,1,1,2,2,3,3,5a,a,a,FA,FB,例： 已知简支梁如图。求1-1、 2-2、 3-3横截面的内力。,A,B,20kN,C,D,4m,20kN,10kN/m,80kNm,80kNm,1m,1m,2,2,2m,1,1,3,3,A,B,20kN,C,D,4m,20kN,10kN/m,80kNm,80kNm,1m,1m,2m,FA=40kN,FB=40kN,2,2,1,1,3,3,FA= FB= (104 +220) /2=40kN,FS,1= 40kN M1= -80kNmFS,2= 40-101= 30kN M2=-80-1011/2+401= -45kNmFS,3= 40-101 -20=10kN M3=-80-1011/2+401= -45kNm,FA=40kN,A,B,20kN,C,D,4m,20kN,10kN/m,80kNm,80kNm,1m,1m,2m,FB=40kN,2,2,1,1,3,3,结论：横向集中外力对C截面剪力FS有影响，对弯矩M无影响。,作业： P128用直接法做:4.1 (b)、 (c),
