1、第三节 两个变量的独立性与函数分布,Def:如果随机变量 X、Y 满足：对所有的实数 x与y ，联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积 ： F ( x,y ) = FX (x)FY (y) 则称 随机变量 X、Y 是相互独立的 . ( independent, 缩写为：ind ),随机变量的独立就是事件独立性的推广,一. 随机变量的相互独立,. 如何判断随机变量的独立, 按照独立性的定义,联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即， F ( x,y ) = FX (x)FY (y),例1 讨论下面X、Y的独立性 (1 e 2x) (1 e y ) , 当 x 、y 0 F (x,y) = 0 ， 其
2、它, 按照随机变量的类型,联合分布律等于边缘分布律的乘积. 即，pi j = pi p j 对全部 i、j 成立,两个离散随机变量的独立,两个连续随机变量的独立,联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，p (x,y) = pX (x)pY (y) 对全部 x、y 成立,例2 从 1，2，3，4 中随机地取一个数 X ， 再从 1， ，X 中随机地取一个数 Y，判断 X、Y是否独立？,解. 联合分布律以及边缘分布律是：,显然 X、Y 不独立。,X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/1
3、6 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1,解,例3 已知（X,Y)的分布率为,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,x0,即：,对一切x, y, 均有：故X,Y 独立,y 0,解：,解,由于X 与Y 相互独立,例5,例6 已知 X、Y 的联合密度如下：判断他们是否独立 ?,4xy , 当 0 x,y 1(1) p (x,y) = 0， 其它,8xy , 当 0 x y 1(2) p (x,y) = 0， 其它,因此 X、Y 相互独立,X、Y 不独立,例7 X、Y 服从二维正态分布 ( X ,Y
4、) N ( 1,2 ;12 ,22 ; ) 证明 X、Y 相互独立的充分必要条件是 = 0 。,证明. (充分性) 已知参数 = 0 ， 因此 X、Y 相互独立； (必要性) 已知X、Y 独立，特别取 x = 1、y = 2 ， 根据 p (1 ,2 ) = pX (1 )pY (2 ) 因此可以证明 = 0 。,补充 条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性,p j | i = p j 或者是 p i | j = pi ；pY | X ( y | x ) = pY(y) 或者是 pX | Y ( x | y ) = pX(x),回顾 随机事件 A、B的相互独立。,思考1 如何定义若干个随机变量的
5、相互独立？(P93),. 如何应用随机变量的独立,两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的,比如：,(1) 大多数的情况下，随机变量的独立性是用于： 从各自的 (边缘) 分布得到联合分布。(P92的例题),(2) 可以证明，如果 X,Y 相互独 g () 与 h () 都是连续 (或者单调) 函数，那么 g (X) 与h (Y) 也是相互独立的随机变量。(P94定理),如：若 X ,Y 为相互独立的 r.v，则aX + b, cY + d 也相互独立； X 2, Y 2 也相互独立；,若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如,
6、X ,Y 相互独立，则,注意,由左表易得 ：,故不能说他们相等,二. 两个随机变量函数的分布,已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,转化为与( X ,Y )有关的事件,求 Z = g( X ,Y )的概率分布, (X ,Y) 是离散随机向量,首先确定 Z = f (X,Y) 所有可能的取值 f(xi ,yj) ， 相应的概率是 pi j ；其次，把所有取相同值的 f(xi ,yj) 对应的概率相加。,即:,例 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1
7、 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,故得,-2 -1 0 1 2,-1 0 1 2 3,(X,Y) 为是连续随机向量 根据联合密度函数 p (x,y) 计算一个二重积分，得到 Z = g (X,Y) 的分布函数 FZ (z) ；把 FZ (z) 对z 求导 则能够得出 Z = g (X,Y) 的密度函数 pZ (z) 。,FZ (z) = P g (X ,Y) z ,计算两个随机变量函数分布的关键问题： 这个二重积分能够被计算出来，或者是能够被转化为二次积分的形式。,连续随机变量和的分布,假定已知 X、Y 具有联合密度函数 p (x,
8、y) ，则 Z = X + Y 的概率密度函数是如下积分：,特别的，当 X、Y 独立时，有公式：,证明:,由此可得概率密度函数为,由于X 与Y 对称,当 X, Y 独立时,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,如图示:,于是,解,例11,此时,代入即可,例12 （P95） 已知 X、Y 独立同分布于N (0,1) ，则 Z = X + Y 的密度函数是,即，Z = X + Y 服从正态分布 N (0,2) 。,一般地，如果 X、Y 相互独立，并且有 X N (1 , 2 )， Y N (2 , 2 ) ，则 Z = X + Y 服从正态分布 N ( 1 + 2 ,
9、2 2 ),分布的“可加”,(1). 正态分布对两个参数都具有可加性,更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。,如果 X、Y 相互独立，并且 X N (1 ,12 )， Y N (2 ,22 ) ， 则 X + Y 服从正态分布 N ( 1 + 2 ,12 + 22 ) 。,(2). 二项分布对于参数 n 具有可加性,二项分布可以表示成两点分布随机变量的和, 如果 X1、X2、Xn 相互独立同分布于B (1,p) ， 则有 X = X1 + X2 + + Xn B ( n ,p ) 。 如果 X B ( n ,p ) ，则可以分解 X = X1 + X2 + + Xn
10、 。,如果 X、Y 相互独立，并且 X B (n ,p )， Y B (m ,p ) ， 则 X + Y 服从二项分布 B ( m + n ,p ) 。,(3). 泊松分布对于参数 具有可加性,如果 X、Y 相互独立，并且 X (1)， Y (2) ， 则 X + Y 服从泊松分布 ( 1 + 2 ) 。,应用： 在第四章中，分布的“可加性”可以用来简化对于随机变量数字特征的计算，如期望与方差的计算。,例13 可以认为服务器遭受非法入侵的次数服从泊松分布。假定根据统计资料平均每分钟受到 的攻击次数服从参数为1的泊松分布， 问开放服务器 5 分钟而至少受到一次入侵的概率？,解. 以 X1，X5 分别记第1，第5 分钟非法入侵 的次数，所以X1，X5 独立同分布于 (1) 。,根据泊松分布的可加性，5 分钟里总的被攻击次数X服从(5) ，因此至少受到一次攻击的概率,p = 1 P X = 0 = 1 1 0.0067 = 0.9933 。,连续随机变量的极值分布,则有,故有,推广,例14,解,3. 教材 106 页 第 17 题 ；,4. 教材 107 页 第 19 题 ；,习题 3.3,5. 教材 108 页 第 28 题 。,
