1、11分类加法计数原理与分步乘法计数原理,计数原理,1.1.2两个原理的应用,能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题,1加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？(1)共同点是，它们都是研究_共有多少种不同的方法(2)不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“_”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事乘法原理是“_”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情,完成一件事情,分类完成,分步完成,基础梳理,2怎样选择应用加法原理、乘法原理？(1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均
2、能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用_(2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用_3正确区分完成一件事情是分类还是分步例如：(1)十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有_种,加法原理,乘法原理,12,(2)从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个(用数字作答),18,6,自测自评,1从A村去B村的道路共有2条，从B村去C村的道路共有3条，从A村直接去C村(不经
3、过B村)的道路有2条，那么从A村去C村，不同走法的种数是_2乘积(a1a2an)(b1b2bn)展开后，共有_项,8,n2,C,3如下图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()A6种 B36种 C63种 D64种,4已知函数yax2bxc，其中a，b，c0,1,2,3,4，则不同的二次函数的个数为()A125 B15 C100 D10,C,分配问题,(1)8本不同的书，任选了3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3
4、)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N876336(种),(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N333381(种)(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N44464(种),跟踪练习,1(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有
5、多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有333381种报名方法(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4444364种可能的情况,组数问题,用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？ 分析
6、：按末位是0,2,4分三类或千位是2,3,4,5分四类计数或用间接法,解析：法一：按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有44348(个)；第二类：末位是2的有34336(个)；第三类：末位是4的有34336(个)则由分类计数原理有N483636120(个),法二：按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有24324(个)；第二类：千位是3的有34336(个)；第三类：千位是4的有24324(个)；第四类：千位是5的有34336(个)则由分类计数原理有N24362436120(个)法三：间接法用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5
7、4360(个)；第二类：末位是2或4的有244396(个),共有6096156(个)其中比2 000小的有：千位是1的共有34336(个)所以符合条件的四位偶数共有15636120(个)点评：对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数,跟踪练习,2用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？,解析：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位
8、置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N5432120(个)(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四,步：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可以组成
9、不同的四位数共有N443296(个) (3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个有两种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法由分步乘法计数原理共有233236(个),涂色问题,将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？,当B与D同色时，有4321248(种)；当B与D不同色时，有4321124(种)故共有482472(种)不同的涂色方法,跟踪练习,
10、3将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数,解析：按照SABCD的顺序分类染色第一类：A、C染相同颜色有54313180(种)；第二类：A、C染不同颜色有54322240(种)故共有180240420(种)不同的染色方法,1.（2012年新课标全国卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种,A,2. (2012年全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的
11、字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种,解析：利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,再填写第二行第一列的数有2种,一共有322=12种.答案：A,4.如右图中的每个开关都有闭合与不闭合两种，因此5个开关共有25种可能在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况共有_种,5在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()A20 B10 C5 D24,16,B,3已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16 C13 D10,C,7. 如图右所示
12、，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能重色，同一种颜色可以反复使用，则符合这种要求的不同着色方法数为_.,6有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有几种()A25 B52 C35 D53,C,540,8. （2012年浙江卷改编）若从1,2,3,9这9个数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有_种.,66,9从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？,解析：从整体看需分类完成， 用分类计数原理从局部看需分步完成，用分步计数原理第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外)；第二类：两位数中，
13、十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况共有(89)个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有(99)种而百位数字上是2的只有200符合所以总共有889991162(个),10. 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？,解析：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有432=24（种）方法.第二步，从A，B，C中选一个点安装第4
14、种颜色的灯泡，有3种方法.第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得,共有43233=216（种）方法.,11已知集合Aa，b，c，集合B1,0,1(1)从集合A到B能构造多少个不同的映射？(2)满足f(a)f(b)f(c)0的映射有多少个？,解析：(1)每个元素a，b，c都可以有3个象和它对应，故从A到B能构造33327个不同的映射(2)列表如下：从表中可知满足f(a)f(b)f(c)0的映射有7个,12用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？,
15、解析：由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54625(种)(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，有541480(种)涂法；,第二类：1号区域与3号区域异色时，有5433180(种)涂法依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80180260(种).,综合性计数问题的求解方法1直接综合运用两个原理解决首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序2利用一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法：将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上也是将分类种数一一列举出来,(2)间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反(3)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知的问题在实际应用中，应根据具体问题灵活处理特别提醒：对于较复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
