1、第一章 概率论的基本概念,第三节 条件概率及有关公式,一、条件概率的定义与性质,二、乘法公式,三、全概率公式与Bayes 公式,对概率的讨论总是在一组固定的条件下进行 的。此外无别的信息可供使用，有时我们却会碰到这样的情况。即已知某一事件已经发生，要求另一事件的概率。,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别为(b,b) (b,g) (g,b) (g,g) 若 A=随机选取一家有男有女，则显然 P(A)=1/2 .但若预先知道B=这家中至少有一女孩,两种情况下算出的概率不同，这也很容易理解，因为多知道了一个条件，我们算得的概率事实上是“在已知 B 发生情况
2、下，A 发生的概率”。,记为,则上述事件概率应是2/3.,一、条件概率的定义与性质,设A、B为两事件, P ( B ) 0 ,定义1,称,记为,条件概率也是概率, 同样满足公理化定义的三个条件：,（2）规范性：,（3）可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,特别，当 时 ， 条件概率化为无条件概率。,例1 甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象资料，知道一年中雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，A=甲市下雨， B=乙市下雨，,则 P ( A ) =0.2 , P(B)=0.18 , P(AB)=0.12,例2 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑
3、料球; 红球中有2只木球,1只塑料球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？,设 A =表示任取一球，取得白球 B =表示任取一球，取得木球.,解 列表,练习 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有黄、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只黄球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,例3 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,解 令,A=2 张中至少有1张假钞,所以,B =抽到2
4、张都是假钞,则所求概率是,（而不是 ！）.,则由条件概率公式，有,推广：,二、乘法公式,设A、B为两事件 ,乘法公式,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求：（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 为第 i 次取到一等品,（1）,（2）,(3),提问：第三次才取得一等品的概率, 是,(4),例4 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从
5、中不放回地取产品, 每次1个, 求：（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,例5 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,解,由,即,故,解法二,三、全概率公式与Bayes 公式,1、全概率公式,设B1,B2,Bn是两两互不相容的事件，且,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,
6、A,B2,证 因为,所以,由假设,注:若 B1,B2,Bn 满足：,1）两两互不相容,2）,则称 是 的一个划分,设B1,B2,Bn是两两互不相容的事件，且,1、全概率公式,则由全概率公式：,例6 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 A =取得红球，,则,例7 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据.,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志. 在仓库中随机地取一只晶体管,求它是次品的概率.,解 设 A=
7、取到的是一只次品,Bi=所取产品是由第i 加工厂提供,则由全概率公式：,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志. 在仓库中随机地取一只晶体管,求它是次品的概率.,解 设 A=取到的是一只次品,Bi=所取产品是由第i加工厂提供,显然，B1,B2,B3 是样本空间的一个划分,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,2、贝叶斯公式,设B1,B2,Bn是两两互不相容的事件，且,贝叶斯公式,例8 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件产品是
8、合格品时,机器调整得良好的概率是多少？,解 设 A=产品是合格品,由贝叶斯公式,所求的概率为,已知,例9 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,解:,A =试验结果是阳性，,求 P(C|A),设 C =抽查的人患有癌症，,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得: P(CA)= 0.1066,在不了解案情细节(事件B )之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变
9、成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),知道B发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底
10、有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得：P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去
11、就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,问 题 1,方案一: 平均分, 这对甲不公平.,方案二: 全部归甲, 这对乙不公平.,解,方案三: 按已胜盘数的比例分配.,即甲得 (667元), 乙得 (333元),在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原
12、因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,方案四 一同学提出:在我未学概率前，我认为甲应得 800元乙应得200元.理由如下：,目前胜率：甲 2/3 乙 1/3,甲再胜一盘几率：2/3,乙连胜二盘几率：,在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,方案五 甲得888.89元,乙得111.11元.,理由如下：,甲胜,乙胜,甲再胜,乙胜,乙再胜,甲赢,甲赢,乙赢,在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得
13、全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,方案三看来似乎合理 , 双方可接受.,但仔细分析, 这样分未必合理 .,理由如下：,设想比赛继续进行下去,要使甲,乙有一个胜 3 盘, 只要再赛两盘即可, 共有以下四种情况:,甲甲 甲乙 乙甲 乙乙,因球技相等, 故 4 个结果等可能发生.,因此, 甲乙最终获
14、胜的大小比为 3:1,故全部奖金应按获胜率的比例分,才公平合理. 即,方案六：甲分 750元 , 乙分 250元 .,在一次乒乓球决赛中设立奖金10万元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这100000元应如何分配才算公平?,问 题2,已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 ,P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6,通过做此题 你能发现什么问题？,则A,B,C 全不发生的概率为,一同学提出此题错误,原因是,A 与B 至少有1/3部分重合，即,这与题中条件 P
15、(AB) = 0 矛盾！,？,A 与C 的共同部分占C 的 2/3,同理 B 与C 的共同部分占C 的 2/3,已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 ,P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6,则A,B,C 全不发生的概率为,一般会解出,解,事实上本题目出错，数万考生中就有指出题目错误的考生.,已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 ,P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6,则A,B,C 全不发生的概率为,解,这与下面正确结论矛盾！,已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 ,P(AB)
16、 = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6,则A,B,C 全不发生的概率为,由题设得,另一方面又可得,于是得矛盾,解二,若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9 便无矛盾,17世纪,法国的 Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌 注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注 押到“完全不出现双六”有利. 但他本人 找不出原因. 后来请当时著名的法国数 学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 . 这问题是如何解决的呢?,问 题,例10 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号“ ”, 收到信号“ ”,“不清”,“ ” 的概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ ”,收到信号“ ”,“不清”,“ ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ ”和“ ”出现的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号“不清”时, 原发信号为“ ”还是“ ”的概率 哪个大？,解 设原发信号“ ” 为事件 B1 原发信号“ ”为事件 B2,收到信号“不清” 为事件 A,已知：,可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为“ ”的可能性大,
