1、欢迎你参加,初等数论的学习,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,2,绪 论,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,3,一 初等数论及其主要内容,数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,4,自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的几何原本（公
2、元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代孙子算经中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集前人的大成，写了一本书叫做算术探究，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。,二 数论的发展史,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,5,由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新
3、的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内都得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,6,三 几个著名数论难题,初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。,其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,7,1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫
4、写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”所谓的1+2，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。,1、哥德巴赫猜想：,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,8,2、费尔马大定理：,费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简
5、单的定理。,经过8年的努力，英国数学家 安德鲁怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,9,3、孪生素数问题,存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。,究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数对
6、被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。),2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,10,4、最完美的数完全数问题,下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14.接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:,注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。,完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不
7、包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,11,四、我国古代数学的伟大成就,公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这是勾股定理的一个特例。,1、周髀算经,2、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的孙子算经共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,12,具有重大意义的是卷下第26题：今有物
8、不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？孙子算经不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯1777-1855于1801年出版的算术探究中明确地写出了上述定理。1852年，英国基督教士伟烈亚士将孙子算经中物不知数问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国剩余定理” 。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,13,周髀算经,孙子算经,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,14,1983年在湖北省江陵县张家山，出土了一批
9、西汉初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步整理，其中有律令、脉书、引书、历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫算数书。 算数书是中国现已发现的最古的一部算书，大约比现有传本的九章算术还要早近二百年，而且九章算术是传世抄本或刊书，算数书则是出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以算数书引起了国内外学者的广泛关注，目前正在被深入研究之中。,3、算数书,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,15,数术记遗相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家认为本书是北周甄鸾自著。 数术记遗把大数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列，另一部份是
10、关于一个幻方的清楚的说明，它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的书籍。,4、数术记遗,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,16,算数书,数术记遗 中的算盘,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,17,根据研究，西汉的张苍 、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。 三国时期的刘徽为九章作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来。 唐代的李淳风又重新做注(656年)，作为算数十经之一，版刻印刷，作为通用教材。,5、九章算术,2018/7/2,阜阳师
11、范学院 数科院,18,九章算术的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下的一些特点：1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；2.以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，“术”是主要需阐述的内容；3.以算筹为工具。 九章算术取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。九章算术的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际，九章算术已传入朝鲜、日本，现在更被译成多种文字。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,19,6、海岛算经 海岛算经由三国刘徽所着，
12、最初是附于他所注的九章算术（263）之后，唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。 全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。海岛算经是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,20,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,21,7、算经十书 唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、夏侯阳算经、张丘建算经、海岛算经、五经算术、缀术、缉古算经十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作北宋
13、时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书（此时缀术已经失传，实际刊刻的只有九种）。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,22,8、测圆海镜测圆海镜由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。测圆海镜所讨论的问题大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在测圆海镜问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。李冶在测圆海镜中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据
14、问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以后才完全作到这一点。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,23,测圆海镜,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,24,五、国外古代数学家及数学成果,1、莱因德纸草书 莱因德纸草书Rhind Papyrus是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代1849 B.C. 1801 B.C.的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元1858年由
15、英国的埃及学者莱因德A. H. Rhind购得，故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米，宽33厘米。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,25,纸草书主要内容有分数的分解：,分数的乘法运算；等差、等比数列的问题；圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形的面积；体积计算；金字塔问题；比例问题等。,莱因德纸草书是了解埃及数学的最主要依据。它准确反映了当时埃及的数学知识状况，其中鲜明地体现了埃及数学的实用性。对我们应该如何看待数学的起源问题有很大的启发。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,26,公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理
16、，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的几何原本。,2、几何原本,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,27,几何原本是欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。,2018/7/2,阜阳师范学院
17、数科院,28,几何原本按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。几何原本成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。 它的影响之深远使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,29,3、算术 公元3世纪，古希腊数学家丢番图的著作算术是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析处理问题，
18、代表了古希腊代数思想的最高成就。 并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、r、Kr、r、Kr、KrK等符号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。因此，丢番图的算术虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,30,直到15世纪算术被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。首先是法国数学家蓬贝利认识到算术的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数
19、的贡献，到17世纪，费马手持一本算术，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。算术中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,31,4、代数学 代数学由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫约783约850所著，该书1183年被译成拉丁文传入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学”Algebra一词是由阿拉伯文的拉丁转写al-jabr演变而来，后渐称该书为代数学，一般认为该著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。,全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的初等代数；第二部
20、份讲各种实用算术问题。最后列举了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，而是用语言叙述。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,32,5、几何学 几何学是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著更好地指导推理和寻求科学真理的方法论（简称方法论）的三个附录之一，于1637年出版的。 几何学在方法论中大约占100页，共分三卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解析几何的方法。笛卡儿所提出的方程与曲线的思想，最终被人们所逐渐接受，并且几何学也被认为是论述解析几何的一部经典之作。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,
21、33,几何学首页,笛卡儿，15961650，法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,34,6、几何基础 几何基础（Grundlagen der Geometrie）是德国著名数学家希尔伯特所著，1899年初版，此后不断再版，至1930年已出第七版。希尔伯特精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公理；合同公理；平行公理；连续公理。记述了希尔伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的几何基础出版后，立即引
22、起了整个数学界的关注，并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代公理化方法的奠基人。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,35,六、学习数论的意义,本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。,通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系, 使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,36,数论是一门高度抽象的数
23、学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际意义。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,37,七 主要参考书1. 于秀源 初等数论 山东教
24、育出版社 20022. 阎满富 初等数论及其应用 贵州教育出版社 19993. 闵嗣鹤 初等数论 高等教育出版社 19584. 陈景润 初等数论 科学出版社 19885. U杜德利著周仲良译基础数论上海科技出版社 19826. 潘承洞、潘承彪著初等数论 北京大学出版社 19997. 编委会 初等数论 开明出版社 1998,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,38,附：相关数学家,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,39,欧几里得前330年前275年欧氏几何学的开创者 ，古希腊数学家，以其所著的几何原本闻名于世。,丢番图Diophante 246330“代数学之父”古希腊数学家，著算术,
25、2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,40,刘徽，生于公元250年左右，三国时期数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人，著九章算术注10卷；海岛算经；九章重差图.割圆术求圆面积和圆周率.,祖冲之，429500，数学家，科学家，算出在3.1415926和3.1415927之间，求球体积公式著有缀术.在天文历法和机械方面均有建树略。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,41,宋元数学四大家,秦九韶约12021261，著数书九章,最重要的数学成就“大衍总数术”一次同余组解法与“正负开方术”高次方程数值解法，在中世纪世界数学史上占有突出地位。,李冶11921279, 著测圆海镜，主要目的就是说
26、明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似。,朱世杰1300前后，著算学启蒙和四元玉鉴。算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”多元高次方程列式与消元解法、“垛积法”高阶等差数列求和与“招差术”高次内插法。,杨辉1250前后，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著详解九章算法,日用算法等。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,42,费马 法1601-1665，是数学史上最伟大的业余数学家，提出了费马大、小定理；在坐标几何，无穷小，概率论等方面有巨大贡
27、献。,哥德巴赫 1690-1764， 德国数学家；曾担任中学教师，1725年到俄国，被选为彼得堡科学院院士.,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,43,欧拉17071783，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的论文，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理等都成为数学中的经典著作。,高斯17771855，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,44,勒让德法17521833，在分析学、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，是
28、椭圆积分理论奠基人之一。对数论的主要贡献是二次互反律，还是解析数论的先驱者之一.,雅可比德18041851，在偏微分方程中，引进了“雅可比行列式。对行列式理论作了奠基性的工作，在代数学、变分法、复变函数论、分析力学 、动力学及数学物理方面也有贡献。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,45,希尔伯特德18621943，他领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。著数论报告、几何基础、线性积分方程一般理论基础.,华罗庚19101985，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。以华氏命名的数学科研成果很多。被列
29、为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,46,陈景润19331996，主要研究解析数论，他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。其成果也被称之为陈氏定理。,王元193050年代至60年代初，首先在中国将筛法用于哥德巴赫猜想研究，并证明了命题3+4，1957年又证明2+3，这是中国学者首次在此研究领域跃居世界领先地位.,2018/7/2,阜阳师范学院 数科院,47,作业,1.谈谈我的大学生活。2 如果可以重来，你会如何度过你的大学生活。3 未来的职业规划（考研，考公务员还是当老师或准备自主创业）谈谈你的看法。注：以上三个任选一个，要求字数不少于3页，下周上课时交。,
