1、向量的数量积,向量的数量积的概念,【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有_,【解析】对于，b与c是不共线的两个非零向量，且ab与ca不能都为零，故错误对于，由三角形的两边之差小于第三边知正确对于，由向量的数量积的运算法则，得(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)bc，故错误对于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2，故正确答案：,点评,判断上述问题的关键是掌握向量的
2、数量积的含义向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc),【变式练习1】下列命题中正确的个数是_.若ab0，则a0或b0；(ab)ca(bc)；若abbc(b0)，则ac；abba；若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角,【解析】当a0时，由ab0/ b0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有ab0，故错(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故错设a与b的夹角为，b与c的夹角为，则由abbc，得|a|cos|c|cos/ ac，故错由于向量数量积满足交换
3、律，故正确向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为0，180范围内的角，故错 答案：1,向量的夹角,点评,数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法(1)题中通过垂直的充要条件，得到|a|b|，这是本题的突破口在等式2abb2中，不能“约去b”，得出“2ab”，注意这一点与实数乘法不同(2)题中，向量的夹角范围是0，并且注意a2|a|2及夹角公式的应用同时，a与b的夹角是钝角，可以得到ab0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件因为a与b的夹角是180时也有ab0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？,【变式练习2】已知a和b
4、的夹角为60，|a|10，|b|8，求：(1)|ab|；(2)ab与a的夹角的余弦值,向量的平行与垂直,【例3】设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a(b2c)，求tan()的值；(2)求|bc|的取值范围；(3)若tantan16，求证ab.,【解析】(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)，a(b2c)4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)4sin()8cos()0.所以tan()2.,点评,向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用,平面向量综合应用,点评,本例是向量、函
5、数、导数应用的典型例子第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用,能力训练,能力训练,例7求证：(acbd)2(a2b2)(c2d2),点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决本例中a2b2，c2d2与向量的模有联系，而acbd与向量的数量积有联
6、系，故可尝试能否设出向量来表示,【例8】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量),点评,利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径,1两向量的夹角：如图，AOB(0180)叫做向量a与b的夹角当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，a与b垂直，记作ab.,2向量的数量积的几何意义：对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫向量b在a方向上的射影(为a、b的夹角)，向量的数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos的乘
7、积当为锐角时，值为正；当为钝角时，值为负；当为直角时，值为零；当为零时，值为|a|b|；当为180时，值为|a|b|.,4运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面： (1)两个向量的夹角的取值范围为0，180； (2)两向量的数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开； (3)当a0时，ab0不能推出b一定是零向量，因为当ab(a0)时，ab0； ；,(4)用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题； (5)对于实数abbc(b0)ac；但对于向量，由abbc不能得到ac； (6)向量的数量积只适合交换律、加法分配律、数乘向量结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，因(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示与a共线的向量,
