1、第三章空间向量与立体几何,3.1空间向量及其运算31.2空间向量的数乘运算,1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义2理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题.,新 知 视 界1空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算(2)向量a与a的关系,(3)空间向量的数乘运算律分配律：(ab)ab，()aaa；结合律：(a)()a.,2共线向量(1)共线向量定义,(2)共线向量定理对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.,3共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向
2、量，叫做共面向量(2)共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使pxayb.,(3)共面向量定理的推论,尝 试 应 用1下列命题中正确的是()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若ab，则存在唯一的实数，使ab,解析：A中，若b0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b0，a0，则不存在.答案：C,2当|a|b|0，且a、b不共线时，ab与ab的关系是()A共面B不共面C共线 D无法确
3、定解析：ab与ab不共线，则它们共面答案：A,答案：3a3b5c,答案：2,图4,解由题意，可以作出如图5所示的几何图形在封闭图形ADOE中，,点评寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是惟一的但需知，无论哪一种途径，结果应是惟一的,图6,点评可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的结合共线向量的有关知识可知，要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：,类型三向量共面问题例3已知A，B，M三点不共线
4、，对于平面ABM外任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与点A，B，M共面？,证明：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，利用多边形加法法则可得，,类型四证明平行问题 例4如图10，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心(1)试用向量法证明四点E，F，G，H共面(2)判断平面EFGH与平面ABCD是否平行，并用向量法证明你的判断,解(1)分别延长PE，PF，PG，PH交对边于点M，N，Q，R，因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连结M，N，Q，R得到的四边形为平行四边形，且有
5、：,点评1.选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，这是解决立体几何问题的常用方法2用共面向量定理证明共面或面面平行，用向量的运算替代了几何论证或几何计算，是向量的重要作用，也是几何证明的另一个方向,迁移体验4如图12所示，已知ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，证明CEMN.,解：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形,思 悟 升 华1向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说ab时，也具有同样的意义,(2)“共线”这个概念具有自反性，aa；也具有对称性，即若ab，则ba(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，则还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上,课时作业 19,
