1、3.3.3 简单的线性规划问题（一）,第3章 不等式,学习目标,1. 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可 行域、最优解等基本概念2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实 际问题,学习目标和重难点,重、难点,重点：了解线性规划的意义及基本概念；能利用图解法求得线 性规划问题的最优解,难点：准确求得线性规划问题的最优解,知识链接,1二元一次不等式组表示什么图形？,二元一次不等式组表示的平面区域,答：二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的给你公共部分.,2如何画出二元一不等式组表示的平面区域？,答：在画二元一次
2、不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可步骤可分为： 画线；定侧； 求“交”； 标区域但要注意是否包含边界,新知探究,引例. 设，满足条件 5+630 3 1 ，求=2+的,最小值和最大值,问题1. =2+中的,对应的点 , 在怎样的平面区域内？,（一）线性规划问题中的基本概念,答: 由不等式组的解集确定的平面区域(如下图阴影部分)即为=2中的，对应的点 ， 所在平面区域,新知探究,问题2. 目标函数=2+ 具有怎样的几何意义？,答：若把=2+变形为=2+，则它表示斜率为2，在 轴上的截距为，且与函数=2平行的一族直线,（一）线性规划问题中的基本概念,问题
3、3. 如何根据目标函数的几何意义，求出其最大值和最小值？,答：由目标函数的几何意义，求目标函数的最大值和最小值，即求目标函数在 轴上的截距的最大值和最小值. 当直线 =2 向上平移时，所对应的z 随之增大；当直线 y=2x 向下平移时，所对应的 随之减小.,新知探究,如图，在把向上平移的过程中，直线与平面区域首先相交于顶点( 1 3 ，1) 时所对应的z 最小，最后相交的顶点( 24 5 ，1)所对应的 最大.,因而只需平移直线=2，在其与图中阴影部分有公共点时，找到它在 轴上的最小截距和最大截距,（一）线性规划问题中的基本概念,新知探究,问题4. 在上述分析的基础上，尝试求出 =2+ 的最小
4、值和最大值.,答：由方程组 =3 =1 ，得A点坐标为( 1 3 ，1)；由方程组 5+6=30 =1 ，得B点坐标为( 24 5 ，1)从而得到 =2 1 3 +1= 5 3 ； =2 24 5 +1= 53 5 .,（一）线性规划问题中的基本概念,新知探究,总结：(1) 如果两个变量x，y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作线性规划问题 (2) 在线性规划问题中，满足约束条件的解(，)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域在可行解中，能分别使目标函数取得最小值和最大值的点( 1 ， 1 )
5、，( 2 ， 2 )称为这个问题的最优解,（一）线性规划问题中的基本概念,例1. 已知 ， 满足 43 3+525 1 ，求=2 最大值和最小值,新知探究,解：=2可化为=2， 的几何意义是直线在 轴上的截距的相反数，故当 取得最大值和最小值时，应是直线在 轴上分别取得最小和最大截距的时候,（二）简单的线性规划问题,新知探究,如图：作一组与 0 ：2=0 平行的直线系，经上下平移，可得：当 移动到 1 ，即经过点(5，2)时， max =252=8.当 移动到 2 ，即过点 1，4.4 时， min =214.4=2.4 .,（二）简单的线性规划问题,新知探究,解题反思：如何求解简单的线性规划
6、问题？,答：图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键是利用几何直观，平移目标函数对应的直线0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值,（二）简单的线性规划问题,变式1. 已知 ， 满足线性约束条件 04 03 +28 ，则目标函数=2+4取最大值的最优解为（ ）A16 B(2，3) C 4，2 D线段 1 2 上每一个点的坐标,典例解析,D,（二）简单的线性规划问题,【解析】首先，线性规划中，目标函数的最优解是点的坐标，因而选项A错误； 其次，根据线性约束条件，得线性可行域，如图1阴影部分所示，把
7、=2+4 变形为= 1 2 + z 4 ，得到斜率为 1 2 ，截距为 z 4 ，且随着,新知探究,（二）不等式组表示区域在生活中的应用,随着 z 的变化的一族平行线. 又直线 1 2 的斜率也为 1 2 ，由图2易知，当直线= 1 2 + z 4 与直线 1 2 重合时， z 4 最大，因而 z 也最大.所以，线段 1 2 上每一个点的坐标都是=2+4 的最优解，故选D.,新知探究,（二）简单的线性规划问题,新知探究,解题反思：线性规划问题中，目标函数数的最优解在何处取到？,答： 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得如果顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解若目
8、标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有无数多个,（二）简单的线性规划问题,新知探究,例2下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素 ， 的含量及单价：,（二）线性规划在生活中的应用,营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素 不少于4400单位，维生素 不少于4800 单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？,新知探究,解：设购买甲种食物 千克，乙种食物 千克，则购买丙种食物10 千克，又设总支出为 元，依题意得 =7+6+5(10)，化简得=2+50.， 应满足的约束条件 400+600+400(10)4400 800+200+400(10)4
9、800 0，0 100 ，化简得 2 24 +10 0 ，,（二）线性规划在生活中的应用,新知探究,根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示,画直线 0 ：2+=0，平行移动 0 到直线 的位置，使 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在 的不包含直线 0 的另外一侧，该点到直线 0 的距离中小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点 符合上述条件，点 是直线=2与直线2=4 的交点,（二）线性规划在生活中的应用,新知探究,由方程组 =2 2=4 ，得点(3，2)因此，当=3，=2 时， 取得最小值 min =23+2+50=58，此时，10=5.所以，购买甲食
10、物3 千克，乙食物2 千克，丙食物 5 千克时，付出的金额最低为 58 元,（二）线性规划在生活中的应用,新知探究,变式2. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4 单位铁质，售价2 元若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？,（二）线性规划在生活中的应用,新知探究,解：由题意，设甲、乙两种原料分别用10 g 和10 g ，总费用为，则 5+735 10+440 0，0 ，目标函数为=3+2，作出可行域如图所示：,（二）线性规划在生活中的应用,新知探究,把=3+2 变形为= 3 2 + 2 ，得到斜率为 3 2 ，在 轴上的截距为 2 ，随 变化的一族平行直线由图可知，当直线 = 3 2 + 2 经过可行域上的点 时，截距 2 最小，即 最小由 10+4=40 5+7=35 得 ( 14 5 ，3)， min =3 14 5 +23=14.4. 甲种原料 14 5 10=28 (g)，乙种原料310=30 (g)，费用最省,（二）线性规划在生活中的应用,
