1、3.1.2 空间向量的数乘运算,第三章 空间向量与立体几何,本节课主要学习空间向量的数乘运算；共线向量定理及推论；共面向量定理及推论.本课以复习空间向量加法、减法的运算法则、几何意义、运算率及平面向量的数乘运算进行新课导入，学习空间向量的数乘运算.运用类比的思想，类比平面向量的数乘运算学习空间向量的数乘运算培养类比联想的探究意识和能力，二维到三维，平面到空间，思维拓展.例1和例2都是关于共面向量定理的应用。例1是寻找四点共面的条件，例2是证明四点共面。,加法交换律,加法:三角形法则或平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.,
2、上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.,我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?,结论：（1）空间中任意两个向量都是共面向量； （2）涉及空间中任意两个向量问题，平面向量中的有关结论仍适用它们。,例如:,空间向量的数乘运算,与平面向量一样，实数 与 空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算. （1）当 时， 与 的方向相同.（2）当 时， 与 的方向相同.（3）当 时， 是零向量. 的长度是 的长度的 倍.,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或
3、重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.,若P为A,B中点, 则,如图，为经过已知点A且平行与已知非零向量 的直线，对空间任意一点O，点P在直线 上的充要条件是存在实数t，使得 ，其中向量 叫做直线 的方向向量.,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.由此可判断空间任意三点是否共线.,l,A,B,P,O,共面向量,共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.,那么什么情况下三个向量共面呢？,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意
4、向量 ，有且只有一对实数 ， 使,得证.,必要性,判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：,（1）只需得到存在实数 ，使,（2）对空间任意点O，存在实数t,使,特别地，当t=1/2时，,此时，点C恰为线段AB的,中点,例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有,则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的 （ ）,A.必要不充分条件,C.充要条件,B.充分不必要条件,D.既不充分也不必要条件,C,典例展示,O,B,A,H,G,F,E,C,D,证明,1下列命题中正确的个数是()若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；向量 , , 共面即它们所在的直线共面；若 ，则存在惟一的实数，使 .A1B2C3 D0,D,C,3.下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线,D,4.下列说法正确的是（ ） A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面,C,共面,1.空间向量的数乘运算. 2.共线向量的概念.3.直线l的方向向量. 4.共面向量的概念.,THANK YOU!,
