1、平面的基本性质,象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以_的印象,一.平面的概念：（1）平面的直观认识,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.,（2）平面的特征：,平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。,数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。,平面,A,D,C,B,平面,、平面ABCD,（3）.平面的表示方法,几何画法：通常用平行四边形来表示平面,符号表示：通常用希腊字母 等来表示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC,、平面AC,（1）水平放置的平面：,（2）垂直放置的平面：,一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图
2、,（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。,二.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,点A在直线a上：,记为：Aa,点B不在直线a上：,点A在平面内：,记为：A,点B不在平面上：,(1)点与直线的位置关系：,(2)点与平面的位置关系：,(3)直线与平面的位置关系：,直线a上的所有点都在平面上，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,直线a与平面只有一个公共点A时，称直线a与平面相交。记为：aA,如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？,思考：,公理1.如果一条直线上两
3、点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。,观察下列图形，你能得到什么结论？,五.平面的基本性质,公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。,文字语言：,图形语言：,符号语言：,一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；,二 是可以用来判定点在平面内，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内.,三 是表明平面是“平的”,公理1的作用有三：,用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？,思考：,手指的位置需要满足什么条件？,公理
4、2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,或记为平面ABC,公理2的作用确定平面的依据;,判定点或线的共面,公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线,观察下列图形，你能得到什么结论？,天花板,墙面,墙面,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线,如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。,一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这
5、两个平面相交；,二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.,公理3的作用有三：,三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线,O,【例1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.,D,A,B,C,E,【例2】如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点,P,A,变式：如图，已知ABC三边所在的直线分别交平面 于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。,证明：,（公理2）,同理可证：,要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.,A,推论1.一条直线和直线外一点唯一确
6、定一个平面。,数学语言表示:,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，由它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?,三个推论的证明（以推论2的证明为例）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A求证：经过直线a、b有且只有一个平面。【证明】（存在性）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面（公理2）。又 （公理1
7、）所以平面是过相交直线a，b的平面。（唯一性）如果过直线a和b还有另一平面，那么A,B,C三点也一定都在平面内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 、了，这与公理2矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。综上知，过直线a、b有且只有一个平面。,【例3】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.,共面, A、B、C三点不在一条直线上,证明：,过A、B、C三点可以确定平面,(公理3),AB,(公理1), AC,AB、AC、BC共面,证法2：,过点A和直线BC确定平面,AB、AC、BC共面,证法3：,ABAC=A,直线AB、AC确定一个
8、平面,BAB ,CAC,BC,(推论2),(公理1),即它们共面,1.已知下列四个说法：,很平的桌面是一个平面平面ABCD的面积为10cm2平面是矩形或平行四边形空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,练习,（）,（）,（）,（）,3根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形,点A在直线l上,点A在直线l外,点A在平面 内,点A在平面 外,直线l在平面 外,直线l在平面 内,4填空,思考与讨论:,两个平面能将空间分成几部分?,3 或 4,三个平面能将空间分成几部分?,6,7,8,作业1.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。,2.如图找平面BA 1C 1与平面B 1AC的交线,
