1、圆的标准方程,问题：,(1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程., (x 1)2 + ( y 2)2 = 4,(2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是什么？,以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.,知识探究一：圆的标准方程,设圆上任意一点P(x,y),1.圆的定义：,平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.,2.圆的标准方程:,圆心为C(a, b), 半径为r的圆的标准方程.,(x a)2 + ( y b)2 = r2,重要知识点,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：,标准方程,3
2、. 特殊位置的圆的方程:,圆心在原点:,x2 + y2 = r2 (r0),圆心在x轴上:,(x a)2 + y2 = r2 (r0),圆心在y轴上:,x2+ (y b)2 = r2 (r0),重要知识点,圆过原点:,(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0),圆心在x轴上且过原点:,(x a)2 + y2 = a2 (a0),圆心在y轴上且过原点:,x 2 + (y-b)2 = b2 (b0),圆与x轴相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b20),圆与y轴相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a0),圆与x,y轴都相切:,(x a)2 + (
3、ya)2 = a2 (a0),练习1,1.说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7.,2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36,(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0,x 2 + y 2 =9,圆心C( 7, 4), r = 6,圆心C(2， 5), r = 1,圆心C(a, 0), r = |m|,(3) (x a)2 + y 2 = m2,(x 3)2 +( y+4) 2 = 49,知识探究二：点与圆的位置关系,思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种位置关
4、系？,思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？,思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,重要知识点,4.点与圆的位置关系,思考4:经过三个不共线的点分别可以作多少个圆？,思考5:集合(x，y)|(x-a)2+(y-b)2r2表示的图形是什么？,不等式表示：(x-a)2+(y-b)2=r2的圆及其内部,不共线的三个点确定唯一一个圆,例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5
5、的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ ，-1）是否在这个圆上？,典型例题,M在圆上，N不在圆上,由公式得圆的标准方程为：,例1已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2为直径的圆的方程.,5.圆的方程的求法:,公式法:求出圆心，半径，代入圆方程,(x 5)2 + ( y 6)2 = 10,重要知识点,待定系数法：,步骤1:设出圆的方程,步骤2:求出待定系数,步骤3:写出圆的方程,轨迹法：,公式法,思考:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程如何？,(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,设圆上任意一点P(x,y),则PA
6、PB,轨迹法,叫圆的直径式方程,待定系数法,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,例2 ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.,典型例题,圆心：两条直线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,C,A(1,1),B(2,-2),弦AB的垂直平分线,例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,解:A(1,1),B(2,-2),例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+
7、1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,即：x-3y-3=0,圆心C(-3,-2),公式法,例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,圆经过A(1,1),B(2,-2),解2:设圆C的方程为,圆心在直线l:x-y+1=0上,待定系数法,例5.求以(1，3)为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0相切的圆的方程.,分析：要确定圆的方程需要几个独立条件?已经知道几个条件？还需要什么条件？,解:圆心C(1，3),圆C和直线3x-4y-7=0相切,半径等于圆心C到直线3x-4y-7=0的距离.,由点到直线的距离公式,得:,典型例
8、题,2 .求满足下列条件的圆的方程：,1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围.,(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25, a 1,练习：,(1) 圆心在 x 轴上,半径为5,且过点A(2, 3).,(2)过点A(3,1)和B( 1，3),且圆心在直线3x-y-2=0上.,(x 2)2 + ( y 4)2 = 10,(3)求以点C(1，3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.,(x 1)2 + ( y 3)2 =,3.求满足下列条件的圆的方程：,(x + 2)2 + y2 = 50,x2 + ( y 6)2 = 10,(x 8)2 + ( y + 3)2 = 25,练习：,(1) 经过点A(3,5)和B(3,7),并且圆心在 x 轴上.,(2) 经过点A(3,5)和B(3,7),并且圆心在 y 轴上.,(3) 经过点P(5,1),且圆心在C(8, 3).,(4)求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(1,1), B(1,-1)的圆的方程。,(1)圆的标准方程的结构特点.,(2)点与圆的位置关系的判定.,(3)求圆的标准方程的方法： 待定系数法；公式法； 轨迹法；,小结,
