1、阅读教材P4647，回答：1空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别 ，那么这两个角相等或互补，此结论称作等角定理2直线a、b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a、b，并使aa，bb，我们把直线a和b所成的 叫做异面直线a和b所成的角(或夹角)其范围是3若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线，异面直线a和b互相垂直，可记作.,(0，90,互相垂直,ab,平行,锐角或直角,4已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30B30或150C150 D以上结论都不对答案B,本节学习重点：等角定理本节学习难点：求异面直线所成的角,1等角定理的证明如下：已知：如图所示，BA
2、C和BAC的边ABAB，ACAC，且射线AB与AB同向，射线AC与AC同向求证：BACBAC.,证明对于BAC和BAC在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明下面证明两个角不在同一平面内的情形分别在BAC的两边和BAC的两边上截取线段AD、AE和AD、AE，使ADAD、AEAE.AD綊AD，AADD是平行四边形AA綊DD.同理可得AA綊EE.DD綊EE.DDEE是平行四边形DEDE.ADEADE.BACBAC.,2应用等角定理时要特别注意其条件若一个角的两边与另一角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等若一个角的两边与另一角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补确定异面直线所成角时，与
3、O点在空间位置无关，常把O点选在两条异面直线中的一条上，这样可少作一条平行线，还可把O选在图形的特殊位置上，然后利用三角形的有关知识加以解决，应用时注意异面直线所成角的范围，常常出现三角形内角的补角为异面直线所成角的情况,例1如图所示，在正方体AC1中，M、M1分别是AD、A1D1的中点求证：BMCB1M1C1.分析证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等,例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角(1)A1B与CC1 (2)AB与B1C1(3)A1B与AC.,解析(1)BB1CC1，A1BB1就是A1B与CC1所成的
4、角，等于45.(2)B1C1BCABC就是AB与B1C1所成的角，等于90.(3)ACA1C1，BA1C1就是AC与A1B所成的角，在A1BC1中，A1BBC1A1C1，BA1C160即A1B与AC所成角为60.,答案90,例3由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角,解析思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF，该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DMCF交AC的延长线
5、于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角如图1.,思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：该平面包含直线CF，该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角如图2.思路3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：该平面包含直线DE，该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FGDE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如图3.,思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：该平面包含直线DE，该平面与CF
6、相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CKDE与BD的延长线交于点K，且DKBD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如图4.,总结评述：(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何“化异为共”“降维”的基本思想,(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相
7、交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置一般提倡像思路2、思路3那样作角，因为此角在几何体内部，易求,(3)找出异面直线所成的角后求角的大小一般要归到一个三角形中，通过解三角形求出角的大小，如本题思路1中可归结为解DEM.思路2中可归结为解DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算(4)实际问题中，若含有“中点”“比例点”常利用中位线，比例线段进行平移,在四面体ABCD中，已知各个面都是正三角形，E是棱BC的中点，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为_,分析可在平面BCD内过E作BD的平行线EF，在AEF中求得所成角的余弦值,例4空间四边形ABCD中，P
8、、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(1)若ACBD时，PQRH是什么四边形？(2)空间四边形满足什么条件时，PQRH为正方形？分析利用三角形中位线及平行公理讨论,(2)由(1)知，当ACBD时，四边形PQRH为矩形，要使四边形为正方形，应有PHPQ，ACBD，当ACBD，且ACBD时，PQRH为正方形,(07福建)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45B60C90 D120答案B,分析根据异面直线所成角的定义，可取空间任一点作两条异面直线的平行线，为简便此点可取某个特殊点本例中，E、F
9、、G、H均为中点，且E、F、G都在平面ABB1A1上，故取A1B1的中点M，则有GMEF.,解析取A1B1的中点M，E、F、G分别为A1A、AB、BB1的中点，EFA1BGM，MGH为两异面直线EF与GH所成的角(或补角)，易知GHM为正三角形，MGH60，故选B.,例5垂直于同一直线l的两条直线a、b，这三条直线最多可能确定几个平面？错解al，blaba、b、l最多可确定一个平面辨析立体几何虽与平面几何密切相关，但并非平面几何的结论都可无条件地推广到空间，如“al，bl，则ab”这一结论在空间并不成立,正解如图(1)，正方体中，棱a、b都与棱l垂直相交，三线可确定3个平面如图(2)，a与l垂
10、直不相交，b与l垂直相交，ab，这时三线可确定2个平面,如图(3)，a，b都与l垂直相交，ab，此时，三线只能确定1个平面如图(4)，la，lb，三线互不相交，此时，三线不能确定平面，故当三线在两两垂直交于一点时，确定的平面最多为3个,一、选择题1已知异面直线a与b所成角60，P为空间一定点，则过P且与a、b所成角是30角的直线有且仅有()A1条B2条C3条 D4条,答案A解析过P作aa，bb，则a与b相交于P，只要找与a、b都成30角的直线即可(异面直线所成角的定义)，先在a与b所确定的平面内找，a与b形成的角的平分线满足，再在这个平面外找，平面外与a、b都成30的直线不存在，因为只要离开平
11、面，就一定大于30，可通过实物观察,二、填空题2如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为_答案60,解析折起后，空间图形如图A、B、C三点重合为一点A，在BDE中，IJBD，在ADF中，GHDF，折起后，IJAD，直线DF与AD所成的角就是HG与IJ所成的角，在正ADF中，ADF60.,3在正方体ABCDA1B1C1D1中，体对角线BD1和面对角线AC所成角的大小为_答案90,NOA(或NOC)是异面直线BD1和AC所成的角在RtNAD及RtNCD中，ADCD，NDND，RtNADRtNCD，NANC，ANC为等腰三角形又O为AC中点，NOAC，异面直线BD1和AC所成角为90.,
