1、第十五章 达朗贝尔原理(动静法),达朗贝尔原理,2,15-1惯性力 质点的达朗贝尔原理,人用手推车,动力学,力 是由于小车具有惯性，力图保持其原有的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。,定义：质点惯性力质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。惯性力是质点作用在使其产生加速度的其他物体上的力。,一、惯性力的概念,二、质点的达朗贝尔原理,有,质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。,汇交力系的平衡条件,例15-1 用达朗贝尔原理求解,解：,解得,列平衡方程：, 15-2 质点系的达朗贝尔原理,为
2、作用于第i个质点上内力的合力。,则有,质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和假想地加上的惯性力在形式上组成平衡力系。,有,也称为质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。,例15-2如图所示，定滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物（mm2)，绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。,解：,由,解得,例15-3飞轮质量为m，半径为，以匀角速度定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响。,求：轮缘横载面的张力。,解：,令,
3、 15-3 刚体惯性力系的简化,由,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合惯性力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。,惯性力系的主矢：,2 刚体定轴转动,由,有,记,称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。,因,其中,如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点，则,有,当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系在此对称面内简化为一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴与对称平面的交点；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反
4、。,刚体作平面运动（平行于质量对称面）,有质量对称平面的刚体，平行于此平面做平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。,例15-4 如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的角速度为 ，角加速度为 。,求：惯性力系向点简化的结果（方向在图上画出）。,解：,20,动力学,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。,21,动力学,讨论：,转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）,22,动力
5、学,讨论：,例15-5如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于处，偏心矩e,图示平面为转子的质量对称面。电动机用地角螺钉固定于水平基础上，转O与水平基础间的距离为h。运动开始时，转子质心位于最低位置，转子以匀角速度转动。,求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力。,解：,因,例15-6 如图所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。,已知:,求：支座A，B受到的附加约束力。,解 ：,解得：,上式中前两项为静约束力，附加动约束
6、力为,求：F多大，能使杆B端刚好离开地面？纯滚动的条件？,解得,解：AB杆刚好离开地面时，地面约束力为零。,得,解得,由,15-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,解得,即：,必有,通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴,因此，避免出现轴承动约束力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。,动约束力为零的条件为：,34,动力学,静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体在仅受重力而不受其它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动。 动平衡：刚体的转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动反力，即轴承的附加动反力等于零。,静平衡与动平衡的概念,求：轴承A,B的约束力,解：,37,动力学,根据达朗贝尔原
7、理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如求加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，投影轴、矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,达朗贝尔原理的应用,38,动力学,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 其运动的方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，熟
8、记刚体惯性力系的简化结果。,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。,39,动力学,例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,40,动力学,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式得：,解：,方法1 用达朗贝尔原理求解,41,动力学,方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,42,动力学,取系统为研究对象，任一瞬时系统的动能,两边除以dt，并求导数，得,
9、方法3 用动能定理求解,43,动力学,例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,44,动力学,解：方法1 用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。,45,动力学,列出动静方程：,运动学关系： ，,将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,46,动力学,代入(2)、(3)、(5)式，得：,47,动力学,方法2 用动力学普遍定理求解,(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象,两边对t求导数：,48,动力学,(2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得,(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：,49,动力学,(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程,方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。,END,
