1、第二章 推理与证明2.2.1 综合法和分析法,复习,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,例1:已知a0,b0, 求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则
2、综合法用框图表示为:,综合法又叫“顺推证法”或“由因导果”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知.证明数学命题时，还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，即使结论成立的充分条件.,回顾基本不等式： (a0,b0)的证明.,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法,特点：执果索因.,用框图表示分析法的思考过程、特点.,例:如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证
3、明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以. AFSC成立,证:,也可以是经过证明的结论,具体详解参照教材p88,思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数,甲:208个,乙:112个,丙:64个,小结,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.,
