1、2.2.2 椭圆的简单几何性质,第二章 圆锥曲线与方程,复习：,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,椭圆的几何性质,1.范围：由,即 -axa, -byb,说明：椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中,x,1.范 围:,对称性,F2,F1,O,x,y,椭圆关于y轴对称。,F2,F1,O,x,y,椭圆关于x轴对称。,A2,A1,F2,F1,O,x,y,椭圆关于原点对称。,2、椭圆的对称性,结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。,椭
2、圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是,同理椭圆关于x轴对称 关于原点对称,即 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称,(-x, y),3、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、
3、b的值可确定其性质(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2a2b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点,名师点睛,1,思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置？,o,B2,B1,A1,A2,F1,F2,因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为椭圆焦点.,、离心率,长半轴为 a半焦距为 c,思考：保持长半轴 a 不变，改变椭圆的半焦距 c ，我们可以发现，c 越接近 a ，椭圆越_这样，我们就
4、可以利用和这两个量来刻画椭圆的扁平程度,扁平,c,a,看动画,椭圆的离心率,因为 a c0,所以 e 的取值范围是:_,0eb,a2=b2+c2,|x| a,|y| b,关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+c2,|x| b,|y| a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),同前,同前,同前,椭圆的简单几何性质,自学导引,(ab0),(ab0),axa,且byb,bxb,且aya,A1(a，0)、A2(a，0
5、),B1(0，b)、B2(0，b),A1(0，a)、A2(0，a),B1(b，0)、B2(b，0),2b,2a,F1(c，0)、F2(c，0),F1(0，c)、F2(0，c),2c,x轴和y轴,(0，0),例1、,求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是,离心率,焦点坐标分别是,四个顶点坐标是,解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确定焦点的位置和长轴的位置,椭圆第二定义:,x,y,.,.,F,F ,O,.,M,自学导引,直线与椭圆的位置关系,种类:,相离(没有交点),相切(一个交点),相交(二个交点),相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点),直线与椭圆的位置关系的判定,代数方法,所以消y得一个一元二次方程,两,一,无,自学导引,知识应用,思考：最大距离为多少？,名师点睛,利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中点、弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法,方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用,【示例】,思路分析 求弦AB的长，需确定点A、B的坐标，点A、B是直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解,
