1、,主题1：正态分布密度函数与正态曲线的概念关于正态分布密度函数与正态曲线正态曲线是指一个函数的图象,这个函数就是正态分布密度函数,其解析式是 ，其中含有两个常数与e，两个参数与，具体内容如下：（1）函数的自变量是x，定义域是R；,（2）解析式中的两个常数是圆周率，e是无理数2.718 28；（3）解析式中含有的参数是任意实数，是正数，在不同的正态曲线中，与的值也不同，它们是正态曲线的两个特征数；（4）解析式的特点是，前面有一个系数 ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，指数是 .,例1 如图是一个正态曲线.试根据该图象写出其函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.【思路点拨】由正态曲线，
2、可以确定与，再根据正态分布密度函数写出其解析式，从而确定期望和方差.,【规范解答】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是 ，所以=20.于是函数的解析式是 x(-,+).总体随机变量的期望是=20，方差是2=( )2=2.,1.确定了正态分布密度函数的解析式中的两个参数与就确定了解析式，同时又可以确定正态曲线的一些特点和性质；2.研究正态分布密度函数的性质即可理解正态曲线的有关性质,并可以应用性质解决一些问题.3.掌握正态分布密度函数的解析式的特点可以由两个参数与的值而记住，进而得到正态曲线有关的性质.,1.下列函数是正态分布密度函数的是( ),【解析】选A.根据正态分
3、布密度函数的解析式 进行判断，选项A中，=1，=0，且 ，故选A；选项B中，系数中的应该在根号的外边；选项C中，由22=4,= ,解析式应为 选项D中，指数应为 .,2.已知正态分布密度函数是 ，xR，则其的值是( )（A） （B）2 （C）4 （D）8【解析】选B.对照正态分布密度函数的解析式可以确定=2，=2，故选B.,主题2：正态曲线的性质关于正态曲线的性质的理解(1)正态分布密度函数是复杂的,但是它的图象正态曲线却是简单而优美的，因此利用正态曲线直观地理解正态曲线的性质及曲线所表示的实际意义，并利用正态曲线的性质及其意义去解决实际问题.,(2)对于连续型随机变量X，X在一点上取值概率为
4、0，即P(X=a)=0，而事件X=a不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；同样地，事件“X(-,a)(a，+)”也不是必然事件但却有P(Xa)=1.,例2设XN（,2）.求证：（1）P(X+).【思路点拨】根据正态分布密度函数和随机变量X的概率计算公式进行推导.,【规范解答】（1）因为P（X）+P(X)=1，且P(X)=P(X)，所以P(X)=；（2）由概率的几何意义和定积分的几何意义得：因为函数P(x)的图象（正态曲线）关于直线x=对称，,且点(-,0)与（+,0）关于直线x=对称，所以所以P(X+)，如图所示，可以直观地观察出.,应用正态曲线的性质解题的类型和方法是:（1）根
5、据正态曲线的对称性可以计算有关区间上的概率，即正态曲线关于直线x=对称，则如果两个区间关于此直线对称，随机变量落在这两个区间内的概率相等；（2）正态曲线与x轴之间的面积为1，这是正态曲线的隐含条件，解题时注意利用这一条件；有关的计算公式有：P(Xa)+P(Xa)=1，,P(X+a)=P(X+a)，若b，则（3）参数可以用来判断正态曲线的形状的“胖矮肥瘦”.,1.若随机变量服从正态分布N(,2)，则关于正态曲线特点的叙述正确的是( )(A)一定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”(B)一定，越大，曲线越“瘦高”，越小，曲线越“矮胖”(C)正态曲线关于y轴对称(D)正态曲线是指数曲线,【解
6、析】选A.本题考查正态曲线的性质，其中要理解记住参数和的含义.,2.某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图所示的曲线可得下列说法中正确的是( )(A)甲学科总体的方差最小(B)丙学科总体的均值最小(C)乙学科总体的方差及均值都居中(D)甲、乙、丙的总体的均值不相同,【解析】选A.根据曲线的位置和形状可知，甲、乙、丙的均值相同，甲的方差（标准差）最小，丙的方差最大，故选A.,主题3：正态分布及其应用正态分布的意义及应用(1)正态分布是一种重要的分布，是自然界最常见的一种分布，曾被成千上万次地运用于确定天文距离，用于测量质量、力和速度；用于确定物质的熔点、沸点、结冰
7、点以及其他物理、化学性质.(2)测量误差服从正态分布这一点表明看似悖论，却是真理的结论：随机误差并不随意，它总是表现出正态分布的规,律，理论上已经证明，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.(3)正态分布的许多性质有着重要的应用，许多分布可以用正态分布来近似，可以通过正态分布推导出来，因此正态分布在理论研究中有着十分重要的地位.,例3某厂生产的T型零件的外直径X服从正态分布N（10，0.22）,从该厂某一天的上午、下午生产的T型零件中各随机取出一个，测得外直径分别是9.52和9.98，试分析该厂这一天的生产状况是否正常？【思路点拨】本题是正态分
8、布的应用题，由已知的正态分布可以得出和，然后根据3原则进行判断.,【规范解答】因为XN(10,0.22)，所以=10，=0.2，所以+3=10+30.2=10.6，-3=10-30.2=9.4，又因为9.52(9.4,10.6)，9.80(9.4,10.6)，即该次抽测的结果都在3范围内，所以可以判断该厂这一天的生产状况是正常的.,正态分布的应用方法(1)求正态总体X在某区间内取值的概率，通常是根据正态曲线的对称性和已知概率进行求解；,(2)也可以利用已知的随机变量X落在区间(-,+)，(-2,+2)和区间(-3,+3)内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4，这三个概率值
9、是已知的，再结合正态曲线的对称性及面积为1求解.,【互动探究】在本例中，若将“测得外直径分别是9.52和9.98”改为“测得外直径分别是9.32和9.80”，则结论如何？,【解析】因为XN(10,0.22)，所以=10，=0.2，所以+3=10+30.2=10.6，-3=10-30.2=9.4，又因为9.32(9.4,10.6)，9.80(9.4,10.6)，这说明在这一次抽测中，有一个产品的尺寸在3范围之外，而在正态分布中，一次测验的结果不可能在3范围之外，所以根据这次抽测的结果可以判断工厂在该天的生产是不正常的,即生产质量有问题.,1.在正态分布XN(,2)中，随机变量X的众数，中位数，平
10、均数满足( )(A)众数=2，中位数=平均数=(B)众数=中位数=2，平均数=(C)平均数=众数=2，中位数=(D)众数=中位数=平均数=【解析】选D.根据正态分布的意义和众数，中位数，平均数的含义可判断.,2.工人生产的零件的半径在正常情况下，服从正态分布N(,2).在正常情况下，取出1 000个这样的零件，不属于(-3,+3)这个范围的零件个数最多为( )(A)10个(B)8个(C)6个(D)3个【解析】选D.零件的半径不属于(-3,+3)这个范围的概率只有0.002 6，所以零件的个数约为1 0000.002 6=2.63（个）.,例某市有210名高中学生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60
11、名学生的答卷，成绩列表如下：（1）求样本的数学平均成绩和标准差（精确到0.01）；（2）若总体服从正态分布，求此正态曲线对应的正态分布密度函数.,【思路点拨】先计算样本平均数和标准差，再用这两个值近似估计出总体正态分布的和，最后写出正态分布密度函数.【规范解答】（1）样本的平均数是所以s= 1.22，即样本的数学平均成绩为6分，标准差为1.22分；,（2）以样本数字特征=6，s=1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差的估计值，则=6，=1.22，即总体服从正态分布N(6,1.222)，所以正态曲线对应的正态分布密度函数是即所求的正态分布密度函数是,正态分布在实际中有着广泛应用，首先求出所选
12、样本的数字特征（例如样本平均数和样本方差），然后对于符合正态分布的总体，可以用样本平均数和标准差作为总体分布的参数和，得到正态分布密度函数及正态曲线的大致形状位置；最后判断正态总体的有关情况.,1.正态分布N（,2）在下面三个区间内的取值概率依次为( )(-3,+3 (-2,+2 (-,+(A)68.3% 95.4% 99.7%(B)99.7% 95.4% 68.3%(C)68.3% 99.7% 95.4%(D)95.4% 68.3% 99.7%,【解析】选B.记住3原则，同时记住服从正态分布的随机变量X在区间(-3,+3、(-2,+2和(-,+内发生的概率.,2.设随机变量XN(,2)，则随着的增大，概率P(|X-|3)将会( )(A)单调增加(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定,【解析】选C.已知P(-3X+3)=0.997 4,它不随的变化而变化，它的含义是正态分布几乎总取值于区间(-3,+3之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，简称为3原则.,Thank you!,
