1、第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程,1.掌握圆的标准方程及其特点,会根据圆心的位置和半径写出圆的标准方程.2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.3.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.,1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是_.当圆的圆心在坐标原点时,圆的半径为r,则圆的标准方程是_.2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外_;点P在圆上_;点P在圆内_.,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2=r2,dr,d=r,dr,即当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆C的外部;当(x0-a)2+(y0-b)2r
2、2时,点P在圆C的内部;当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点P在圆C上.反之也成立.,2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.,题型一 求圆的标准方程例1:求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在原点,半径为3;(2)圆心在点(-2,1),半径为 (3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).分析:(1)(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式
3、求半径,再写出圆的标准方程.,解:(1)圆心(0,0),半径为3,圆的方程为x2+y2=9.(2)圆心(-2,1),半径圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(3)方法1:圆的半径 又圆心为(8,-3),圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,方法2:圆心为(8,-3),故可设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,点P(5,1)在圆上,(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25.所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,只要求出abr,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需要三个独立条
4、件,其中圆心(a,b)是定位条件,半径r是定形条件.,变式训练1:指出下列圆的圆心和半径(1)x2+y2=3;(2)(x-1)2+y2=9;(3)(x+1)2+(y-2)2=1.答案:(1)圆心(0,0), (2)圆心(1,0),r=3.(3)圆心(-1,2),r=1.,题型二 用待定系数法求圆的方程例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.,解法2:圆过A(5,2),B(3,-2)两点,圆心一定在线段AB的垂直平分线上.,规律技巧:确定圆的方程
5、需要三个独立条件,“选标准定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.,变式训练2:求圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的标准方程.解:设圆心在x轴上,半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=52.点A在圆上,(2-a)2+(-3)2=25.a=-2或a=6.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.,题型三 点和圆的位置关系例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上圆外还是圆内.解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.点A(0,
6、0)与圆心C(3,4)的距离d=5,而r=5,d=r,点A在圆上.点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 点B在圆内.,解法2:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,将点A(0,0),B(1,3)分别代入圆的方程,得(0-3)2+(0-4)2=25,(1-3)2+(3-4)2=5r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当dr2,则点P在圆外,若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点P在圆上;若(x-x0)2+(y-y0)224.点P在圆外.答案:A,2.点 与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.与t的值有关|OP|=1,点P在圆上.答案:C,3.若一
7、圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别是( )A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5),3D.(1,-5),3答案:B,4.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程为( )A.x2+y2=2B.x2+y2= C.x2+y2=1D.x2+y2=4解析:AB的中点为圆心(0,0),半径圆的方程为x2+y2=2.答案:A,5.方程 表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆解析:由 得x2+y2=9(y0),方程 表示半个圆.答案:D,6.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB
8、的方程为( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析:已知圆的圆心为C(1,0),易知PCAB,kPC=,kAB=1,依点斜式知AB的方程为x-y-3=0.答案:A,7.圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r0)的圆心C到直线4x+3y-12=0的距离是_.解析:圆心C(2,-1),代入点到直线的距离公式,得,8.求经过点A(-1,4),B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方程.解:圆心在y轴上,可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为:x2+(y-b)2=r2.圆经过AB两点,圆的方程是x2+(y-1)2=10.,能力提升,9.一圆在x,y轴上分别截
9、得弦长为4和14,且圆心在直线2x+3y=0上,求此圆方程.解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有又圆心在直线2x+3y=0上,2a+3b=0.,适合题意的圆的方程为(x-9)2+(y+6)2=85或(x+9)2+(y-6)2=85.,10.若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上.(1)求 的最小值;(2)求 的最大值.解:(1)式子 的几何意义是圆上的点P(x,y)与定点(0,2)的距离.因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是又圆半径为所以 的最小值为,(2)利用 的几何意义.因为 的几
10、何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,如右图所示,易求得 的最大值为,11.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:依题意知圆心(0,b),圆的方程为x2+(y-b)2=1,把点(1,2)代入,得b=2,x2+(y-2)2=1为所求.答案:A,12.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+2)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1,解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0),则有x02+y02=4.设连线中点的坐标为(x,y),则代入x02+y02=4,得(x-2)2+(y+1)2=1.答案:A,
