1、1. 3.2球的体积和表面积,学习导航学习目标重点难点重点: 球的体积和表面积公式. 难点: 有关球的组合体的求解.,1. 球的表面积设球的半径为R, 则球的表面积S_ .2. 球的体积设球的半径为R, 则球的体积V_.,4R2,做一做,题型一 球的表面积、体积的简单计算,【名师点评】确定一个球的条件是球心位置和球的半径, 已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积; 反过来, 已知体积或表面积也可以求其半径.,变式训练,题型二有关几何体的外接球 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半, 且ACBC6, AB4, 求球面面积与球的体积,【解】如图,【思维总结】利用球的性质,
2、 如OO1圆面O1, OA, OB, OC为球的半径等, 构造直角三角形求球的半径.,变式训练,解析: 如图, 把四面体ABCD补成正方体, 则正方体的棱长为1,答案: 3,题型三有关几何体的内切球 (本题满分12分)有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容器内放一个半径为r的铁球, 并注入水, 使水面恰好与球相切, 然后取出球, 求这时容器中水的深度.,【思路点拨】,名师微博水的体积恒定，是解此题的关键,【名师点评】利用轴截面图求圆锥的高与底面半径的关系, 再利用水的体积不变列出关于高的方程, 用方程思想解题是高中数学的一个重点.,变式训练3. (2010高考湖北卷)圆柱形容器
3、内部盛有高度为8 cm的水, 若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球(如图所示), 则球的半径是_ cm.,答案: 4,1. 有三个球, 第一个球内切于正方体, 第二个球与这个正方体各条棱相切, 第三个球过这个正方体的各个顶点, 求这三个球的表面积之比.,解: 设正方体的棱长为a, 如图所示.,2. 一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋, 请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径, 杯子壁厚度忽略不计), 使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 怎样设计最省材料？,3. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面, 它们的面积分
4、别为49 cm2和400 cm2.求球的表面积.,图(1),解:图(1)(1)当截面在球心的同侧时, 如图(1)所示为球的轴截面. 由球的截面性质知, AO1BO2,且O1, O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1AO1, OO2BO2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49, 即O2B249, 所以O2B7(cm). 同理, 因为O1A2400, 所以O1A20(cm).,设OO1x, 则OO2x9.在RtOO1A中, R2x2202, 在RtOO2B中, R2(x9)272, 所以, x2202(x9)272, 解得x15(cm). 即R2x2202252.故S球4R22500(cm2).
5、所以, 球的表面积为2500 cm2.,(2)当截面位于球心O的两侧时, 如图(2)所示为球的轴截面. 由球的截面性质知, O1AO2B, 且O1, O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1AO1, OO2O2B.,图(2),设球的半径为R.因为圆O2的面积为49, 即O2B249, 所以O2B7(cm). 同理, 因为O1A2400, 所以O1A20(cm). 设O1Ox, 则OO29x.在RtOO1A中, R2x2202,在RtOO2B中, R2(9x)272.所以x2400(9x)249, 解得x15(cm), 不合题意, 舍去. 综上所述, 球的表面积为2500 cm2.,方法技巧 1. 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键, 因此在解决球的有关问题时, 我们必须抓住球的轴截面, 并充分利用它来分析解决问题. 如例2, 例3.2. 解决与球有关的组合体, 关键寻找球的直径(半径)与其它几何体度量的关系.,失误防范1. 平面截球得到的是圆面而不是圆, 要区分是大圆面还是小圆面. 2. 球的组合体要注意区分是内切还是外接, 是与面相切, 还是与棱相切.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
