1、1,2,3,1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对有序实数x,y,使得a=xi+yj,则把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).,1,2,3,交流1如何理解向量的坐标表示?提示(1)向量用坐标表示,为表示向量a提供了另一种方法,使向量a与有序实数对(x,y)建立了一一对应关系.(2)向量用坐标表示,为向量运算数量化、代数化奠定了基础.(3)点的坐标与向量坐标的关系.点的坐标与向量的坐标是有区别的,平面向量的坐标与该向量的起点、终点的坐标都有关,只有起点
2、在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等.(4)符号(x,y)在平面直角坐标系中具有了双重意义,它可以表示一个点,又可以表示一个向量,为加以区分,常说点P(x,y)或者向量a=(x,y),注意前者没有等号,后者有等号.,1,2,3,2.平面向量的坐标运算(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数,那么a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,则 =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.交流2向量的坐
3、标是其终点的坐标吗?提示不一定.若 是以原点为始点,P点为终点的向量,其坐标为点P的坐标;由于向量具有平移性,当 的起点不是原点时,其坐标不是终点B的坐标.,1,2,3,3.向量平行的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a0),如果ab,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么ab.交流3如果两个非零向量共线,你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗?提示当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向.当两个向量的对应坐标异号或同为零时,反向.例如:向量(1,2)与(-1,-2)反向;向量(1,0)与(3,0)同向;向量(-1,2)与(-3,6)同向;
4、向量(-1,0)与(3,0)反向等.,1,2,3,典例导学,即时检测,一,二,三,一、向量的坐标表示在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.思路分析利用三角函数求出各向量在x轴,y轴上的分量的模的大小,以此确定向量的横、纵坐标.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,1.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为. 答案:(10,-5),典例导学,即时检测,一,二,三,
5、典例导学,即时检测,一,二,三,(1)在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量 =a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x,y).(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.(3)将平面图形放置在直角坐标系中,必须说明“以点为坐标原点,以所在的直线为x轴,建立直角坐标系”,当坐标系建立的方法不同时,各点坐标也有所不同,但不影响最终结论的成立.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、平面向量的坐标运算(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标;(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C
6、(-2,0),试求向量思路分析题目(1)中分别给出了两向量的坐标,欲求a,b的和、差或数乘向量的坐标,可根据向量的直角坐标运算法则进行.题目(2)中给出了点的坐标,可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标,然后再进行运算.,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).,典例导学,即时检测,一,二,三,答案
7、:(-1,2),典例导学,即时检测,一,二,三,(1)在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积).(2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.(3)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、向量共线的坐标运算已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,求实数x的值.思路分析先利
8、用向量的线性运算求a+b,4b-2a,然后利用向量共线时的坐标关系或利用向量共线定理a+b=(4b-2a)求解.解因为a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2).由于a+b与4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,则实数x的值为.解析:因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为uv,所以3
9、(2x+1)-4(2-x)=0,即10x=5,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)当b0时,a=b.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.(3)当x2y20时, 即两向量的相应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若 =
10、3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案:D,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.导学号51820049(2016广东揭阳惠来一中检测)已知e1=(2,1),e2=(1,3),a=(-1,2),若a=1e1+2e2,则实数对(1,2)为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)D.无数对答案:B解析:1e1+2e2=(21+2,1+32),a=1e1+2e2,实数对(1,2)=(-1,1).故选B.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,答案:30,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k=.答案:5解析:a-c=(3-k,-6),b=(1,3),典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,
