1、3.1.2复数的几何意义,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记复平面内的点或从原点出发的平面向量与复数的一一对应关系，初步认识三者之间的内在联系,【知识链接】1.实数的几何意义：指的是实数与数轴上的点一一对应，如实数a=-1与数轴上的点A(-1)是一一对应的.2.平面直角坐标系：指的是两条互相垂直的数轴Ox与Oy构成的图形，如图所示，,主题一：复数的几何意义【自主认知】1.在什么条件下，复数z唯一确定？提示：给出复数z的实部和虚部.2.设复数z=a+bi(a，bR)，以z的实部和虚部组成一个有序实数对(a，b)，那么复数z与有序实数对(a，b)之间是一个怎样的对应关系？提示：一一对
2、应关系.,3.有序实数对(a，b)的几何意义是什么？提示：有序实数对(a，b)表示坐标平面内的点.,4.用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？提示：有向线段的始点和终点.5.在复平面内，复数z=a+bi(a，bR)用向量如何表示？提示：以原点O为始点，点Z(a，b)为终点的向量.,根据以上探究过程，试着写出复平面的概念以及复数与点、向量间的对应关系：1.复平面的概念(1)复平面：用_来表示复数的平面.(2)_叫做实轴，_叫做虚轴.(3)实轴上的点都表示_，虚轴上的点(除原点外)都表示_.,直角坐标系,x轴,y轴,实数,纯虚数,2.复数与点、向量间的对应,(a,b),【合作探
3、究】1.复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数.事实上，虚轴上的点(0，0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数.,2.用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？提示：以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.3.复数与平面向量是什么关系？提示：一一对应关系,【拓展延伸】复数的三角形式(1)定义：复数z=a+bi(a，bR)表示成r(cos+isin)的形式叫复数z的三角形式.即z=r(cos+isin)，其中为复数z的辐角.(2)非零复数z辐角的多值性.以Ox轴正
4、半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数z=a+bi的辐角，因此复数z的辐角是+2k(kZ).,(3)辐角主值表示法；用arg z表示复数z的辐角主值.定义：适合0，2)的角叫辐角主值，唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的.z=0时，其辐角是任意的.,【过关小练】1.已知复数z=i，复平面内对应点Z的坐标为()A.(0，1) B.(1，0)C.(0，0) D.(1，1)【解析】选A.复数z=i的实部为0，虚部为1，所以对应点的坐标为(0，1).,2.向量a=(1，-2)所对应的复数是()A.z=1+2iB.z=1-2iC.z=-1+2iD.z=-2+i【解析】选B.因为a=(1，-2)，
5、所以复平面内对应的点为Z(1，-2)，所以a对应的复数为z=1-2i.,主题二：复数的模【自主认知】1.设Z(a，b)，则向量 的模如何用a，b表示？提示：,2.根据复数模的意义，考虑|a+bi|的计算公式是什么？提示：|a+bi|=3.向量 的模r与复数z=a+bi的模|z|有何关系？提示：相等.即r=|z|=,根据以上探究过程，总结出复数模的定义以及计算公式：(1)复数z=a+bi(a，bR)模的定义：_.(2)复数z=a+bi(a，bR)模的计算：_.,【合作探究】1.若|z|=1，|z|2i B.|2+3i|1-4i|C.|2-i|2i4 D.i2-i【解析】选C.因为两个虚数不能比较
6、大小，因此排除选项A和D.因为 所以|2+3i|2i4，选项C正确.,【归纳总结】1.复数的模的两个关注点(1)从几何意义上理解，复数的模表示点Z到原点的距离.(2)模的计算公式：|a+bi|= ，求复数的模，关键是明确复数的实部与虚部，将复数化为代数形式，然后根据公式求解.,2.复数z=a+bi(a，bR)、复平面上的点Z(a，b)与平面向量三者之间的联系与区别(1)联系：三者一一对应，是通过有序实数对在三者之间建立起一一对应关系.因此三者都表示复数z，为了方便起见，把复数z=a+bi(a，bR)说成点Z(a，b)或向量 .(2)区别：主要是表达形式不同.z=a+bi(a，bR)从数的角度刻
7、画复数，称为复数的代数形式.点Z(a，b)从形的角度刻画复数，称为复数的几何形式.向量从形的角度刻画复数，称为复数的向量形式.,类型一：复数与点的对应关系【典例1】(1)若 则复数z=(sin-cos)+(sin+cos)i在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限,(2)求实数a分别取何值时，复数z= +(a2-2a-15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：在复平面的第二象限内.在复平面内的x轴上方.【解题指南】(1)根据所给角的范围，确定复数z的实部与虚部的符号.(2)由z=a+bi(a，bR)与点Z(a，b)一一对应知第问要求实部小于0，虚部大于0；第
8、问要求虚部大于0.,【解析】(1)选D.sin -cos =sin +cos = 因为因此sin -cos 0，sin +cos 0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.,(2)点Z在复平面的第二象限内，则 解得a-3.点Z在x轴上方，则即(a+3)(a-5)0，解得a5或a-3.,【延伸探究】1.(改变问法)题(2)中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时实数a的值.【解析】点Z在x轴上，所以a2-2a-15=0，所以a=5或a=-3.当a=-3时， 无意义，故a=5时，点Z在x轴上.,2.(改变问法)题(2)中条件不变，如果点Z在直线x+y+7=0上，如何求解？【解析】因为点Z在直线
9、x+y+7=0上，所以 +a2-2a-15+7=0，即a3+2a2-15a-30=0，所以(a+2)(a2-15)=0，故a=-2或a= .所以a=-2或a= 时，点Z在直线x+y+7=0上.,【规律总结】复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.,【补偿训练】当实数m分别为何值时，复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复
10、平面内对应的点：(1)位于第四象限？(2)位于x轴的负半轴上？(3)位于y轴的正半轴上？【解题指南】复数a+bi(a，bR)在复平面内对应的点位于第四象限应满足a0且b0.,【解析】(1)当复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点位于第四象限时，所以-7m3.故当-7m0,【解题指南】(1)设z=a+2ai(aR)，由复数模的计算公式列方程求出a值即可.(2)根据复数模的计算公式列不等式得出答案.,【解析】(1)选D.依题意可设复数z=a+2ai(aR)，由|z|= 得 解得a=1，故z=1+2i或z=-1-2i.(2)选B.因为 所以 即a2+45，所以a21，即-
11、1a1.,【规律总结】复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.提醒：复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离，则任何一个复数的模都是非负数.,【拓展延伸】求解关于复数模的最值问题的两种方法(1)设z=x+yi(x，yR)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x，y的函数表示出来，转化为函数最值问题.(2)因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形，直观地求出最大值、最小值.,【巩固训练】1.如果复数z=1+ai满足
12、条件|z|2，那么实数a的取值范围是()A.(-2 ，2 ) B.(-2，2)C.(-1，1) D.(- ， )【解析】选D.因为|z|2，所以 2，则1+a24，a23，解得- a0，所以|z|-3=0，即|z|=3，它表示复数z对应的点到原点的距离为3，即其轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆.2.因为(2 )2=(x-2)2+y2，所以z2=x+yi所对应的点(x，y)的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆.答案：(x-2)2+y2=8,3.由a2-2a+4=(a-1)2+33，-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1.得z的实部为正数，虚部为负数.所以复数z的对应点在第四象限.设z=x+yi(x，yR)，则消去a2-2a得y=-x+2(x3)，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y=-x+2(x3).,【规律总结】解复数所对应点的图形问题常用两种方法方法一：根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状.方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法.,
