1、13.2函数的极值与导数,学习目标,1.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,课堂互动讲练,知能优化训练,课前自主学案,1.3.2,课前自主学案,1如果函数yf(x)在某个区间内单调递增或单调递减，函数的导数f(x)不一定就恒正或恒负2函数yx3x6的单调递增区间是_,1极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa的左侧_，右侧_，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,2极大值点与极大值如图
2、，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧_，右侧_，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值_、_统称为极值点，_和_统称为极值,f(x)0,f(x)0,极大值点,极小值点,极大值,极小值,1函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？提示：不一定；不一定唯一2导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定义，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0处取得极值，还要看f(x)在x0两侧的符号是否异号例如f(x)x3，由f(x)3x2知f(0)0，但x
3、0不是f(x)x3的极值点,课堂互动讲练,求函数极值的步骤：(1)求f(x)0在函数定义域内的所有根；(2)用方程f(x)0的根将定义域分成若干小区间，列表；(3)由f(x)在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况,【思路点拨】从方程f(x)0入手，在函数的定义域内求出此方程所有的根，判断函数在这些点处是否存在极值，进而问题获解,【解】(1)f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,【思维总结】解决求函数极值的问题时，利用表格可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值另外，讨论函数的性质要保持定义域优先的原则,解：(1)函数
4、f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16；当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.,已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式,【思维总结】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值
5、等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,变式训练2(2011年高考重庆卷)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值解：(1)因为f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，由已知f(1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，,(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex.令g(x)0，得3x2
6、9x0，解得x10，x23.当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g(x)0，故g(x)在(3，)上为减函数从而函数g(x)在x10处取得极小值g(0)3，在x23处取得极大值g(3)15e3.,极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键,设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值
7、范围【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值(2)由(1)的结论，问题转化为yf(x)和ya的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解,【思维总结】用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数,变式训练3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.,所以函数f(x)的
8、极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示,(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a2时，方程恰有两个实数根,方法技巧,在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1),失误防范,1函数在一个区间的端点处不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点2在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点3可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点例如，函数yx3在R上不存在极值点,知能优化训练,本部分内容讲解结束,点此进入课件目录,按ESC键退出全屏播放,谢谢使用,
